39장: 물질파 심화

More About Matter Waves

이번 장에서 배울 내용

38장에서 전자가 물질파(matter wave) 로 행동한다는 것을 배웠다. 이번 장에서는 물질파를 좁은 공간에 가두면 무슨 일이 일어나는지 살펴본다.

• 전자를 1차원 우물에 가두면 → 에너지가 양자화(quantization) 된다
• 갇힌 전자의 파동함수(wave function) 와 발견 확률
• 현실적인 유한 우물(finite well), 2차원·3차원 트랩
• 자연이 만든 전자 트랩: 수소 원자(hydrogen atom)

20세기 초의 가장 큰 수수께끼 — "원자는 왜 무너지지 않고, 왜 특정한 색의 빛만 내는가?" — 를 이번 장에서 풀게 된다.

실생활 속 갇힌 전자: QLED TV

QLED TV의 'Q'는 양자점(quantum dot) 이다. 지름 수 나노미터짜리 반도체 알갱이 속에 전자가 갇혀 있다.

같은 물질인데도 알갱이의 크기만 바꾸면 색이 바뀐다. 자외선을 비추면 작은 알갱이는 파란빛, 큰 알갱이는 붉은빛을 낸다. 왜 그럴까? 이번 장의 핵심 공식 하나로 설명된다.

(사진: eFluor nanocrystals under UV, Travis Jennings, Wikimedia Commons, CC BY 3.0)

이번 장의 핵심 아이디어

구속 원리(confinement principle) :

파동을 유한한 영역에 가두면 양자화 된다 — 즉, 불연속적인 상태들만 허용되고 각 상태는 정해진 에너지를 갖는다.

• 끈에 묶인 파동이든, 전자의 물질파든 모든 파동 에 적용된다
• 갇힌 전자는 아무 에너지나 가질 수 없고, 에너지 준위(energy level) 위에만 있을 수 있다
• 준위 사이를 오갈 때 빛(광자)을 흡수하거나 방출한다

39.1 갇힌 전자의 에너지

끈의 정상파 복습 (16장)

무한히 긴 끈에는 어떤 진동수의 진행파(traveling wave) 든 만들 수 있다. 그러나 길이 $L$인 끈의 양 끝을 고정하면 정상파(standing wave) 만 가능하다.

양 끝이 마디(node) 가 되어야 하므로, 반파장이 정수 개 들어가야 한다:

$$L = n\frac{\lambda}{2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

양자수

허용된 각 정상파 상태의 변위는

$$y_n(x) = A \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right), \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

• 정수 $n$이 상태를 구분한다 → $n$을 양자수(quantum number) 라 부른다
• 파동을 가두는 순간, 연속적이던 진동수가 불연속적 으로 바뀐다

물질파도 파동이다. 따라서 전자를 가두면 전자의 에너지도 양자화 되어야 한다. 이것이 이번 장 전체를 관통하는 논리이다.

1차원 전자 트랩: 무한 퍼텐셜 우물

전자를 $x$축 위 길이 $L$ 구간에 가두는 가장 단순한 모형:

• $0 < x < L$에서 퍼텐셜 에너지 $U = 0$
• $x < 0$, $x > L$에서 $U \to \infty$ (절대 넘을 수 없는 벽)

이를 무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well) 이라 한다. 이상화된 모형이지만, 실제로 실험실에서는 전자 하나를 트랩에 가둬 몇 달씩 보관하며 정밀 측정을 하기도 한다.

갇힌 전자의 드브로이 파장

우물 벽에서 전자의 물질파는 마디 가 되어야 한다. 끈의 정상파와 똑같이:

$$\lambda = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

이 $\lambda$를 드브로이 파장(de Broglie wavelength) 으로 해석한다. 비상대론적 전자는 $K = p^2/2m$이고, 우물 안에서 $U=0$이므로 전체 에너지는 $E = K$:

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$$

이 두 식을 결합하면 허용되는 에너지가 나온다.

에너지 준위 유도

정상파 조건에서 운동량이 양자화된다:

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L/n} = \frac{nh}{2L}$$

이를 $E = p^2/2m$에 대입하면:

$$E = \frac{1}{2m}\left(\frac{nh}{2L}\right)^2 = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$$

$$\boxed{E_n = \left(\frac{h^2}{8mL^2}\right)n^2, \qquad n = 1, 2, 3, \dots}$$

전자는 이 값들 사이의 에너지는 절대 가질 수 없다. $n=1$과 $n=2$의 중간쯤 되는 에너지는 허용되지 않는다.

에너지 준위 다이어그램

$L = 100\ \mathrm{pm}$ (원자 크기 정도)인 우물의 허용 에너지:

• $n=1$: 바닥상태(ground state) — 전자가 가장 선호하는 상태
• $n \ge 2$: 들뜬상태(excited state) — $n=2$가 첫째 들뜬상태
• 에너지가 $n^2$에 비례하므로 위로 갈수록 준위 간격이 벌어진다

예제 1: 가장 작은 에너지

$L = 100$ pm인 무한 우물에 갇힌 전자가 가질 수 있는 최소 에너지는?

먼저 공통 인수 $h^2/8mL^2$를 계산한다:

$$\frac{h^2}{8mL^2} = \frac{(6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s})^2}{8\,(9.11 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg})(100 \times 10^{-12}\ \mathrm{m})^2}$$

분자는 $4.40 \times 10^{-67}$, 분모는 $7.29 \times 10^{-50}$이므로:

$$\frac{h^2}{8mL^2} = 6.03 \times 10^{-18}\ \mathrm{J}$$

최소 에너지는 $n=1$일 때이므로:

$$E_1 = (6.03 \times 10^{-18}\ \mathrm{J})(1^2) \approx \boxed{37.7\ \mathrm{eV}}$$

갇힌 전자는 에너지 0으로 가만히 있을 수 없다!

에너지 변화: 양자 도약

전자는 준위에서 준위로만 이동할 수 있다. 이를 양자 도약(quantum jump) 또는 전이(transition)라 한다.

$$\Delta E = E_{\text{high}} - E_{\text{low}}$$

• 올라가려면 외부에서 정확히 $\Delta E$만큼 에너지를 받아야 한다
• 들뜬 전자는 오래 머물지 않고 곧 탈들뜸(de-excite) 하여 내려온다
• 내려오는 경로는 여러 가지 — 한 번에 점프하거나, 중간 준위를 거친다

광자의 흡수와 방출

전자가 빛으로 에너지를 주고받을 때, 광자(photon) 한 개의 에너지가 정확히 준위 차와 같아야 한다:

$$\boxed{hf = \frac{hc}{\lambda} = \Delta E = E_{\text{high}} - E_{\text{low}}}$$

• 흡수(absorption) : 광자를 삼키고 위 준위로 점프
• 방출(emission) : 광자를 내놓고 아래 준위로 점프
• 광자 에너지가 어떤 $\Delta E$와도 맞지 않으면 흡수 자체가 불가능

따라서 갇힌 전자가 주고받는 빛은 특정 파장들만 가능하다. 이것이 스펙트럼선의 기원이다.

예제 2: 양자 도약과 광자 파장

$L = 100$ pm 우물의 전자가 바닥상태($n=1$)에서 둘째 들뜬상태($n=3$)로 점프하려면?

$$\Delta E_{31} = \frac{h^2}{8mL^2}(3^2 - 1^2) = (6.03 \times 10^{-18}\ \mathrm{J})(8) = 4.83 \times 10^{-17}\ \mathrm{J} \approx 301\ \mathrm{eV}$$

이 에너지를 빛으로 흡수한다면 파장은:

$$\lambda = \frac{hc}{\Delta E_{31}} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}{4.83 \times 10^{-17}} = \boxed{4.12 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} = 4.12\ \mathrm{nm}}$$

내려올 때는 $3\to1$ (4.12 nm), $3\to2$ (6.60 nm), $2\to1$ (11.0 nm)의 세 가지 방출이 가능하다.

39.2 갇힌 전자의 파동함수

파동함수

슈뢰딩거 방정식을 무한 우물에 대해 풀고, 벽에서 파동함수가 0이어야 한다는 경계 조건을 적용하면:

$$\psi_n(x) = A \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right), \qquad n = 1, 2, 3, \dots \quad (0 \le x \le L)$$

• 우물 밖에서는 $\psi_n = 0$ (전자가 절대 나갈 수 없다)
• 끈의 정상파 $y_n(x)$와 완전히 같은 꼴 — 갇힌 전자는 "정상 물질파"이다
• 진폭 $A$는 잠시 후 규격화(normalization) 로 결정한다

확률밀도

$\psi_n(x)$ 자체는 측정할 수 없다. 물리적 의미를 갖는 것은 확률밀도(probability density) $\psi_n^2(x)$이다:

$$p(x) = \psi_n^2(x)\,dx = A^2 \sin^2\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$$

• $\psi_n^2(x)\,dx$ = 위치 $x$ 주변 폭 $dx$에서 전자가 검출될 확률
• 구간 $x_1 \sim x_2$에서 발견될 확률은 $\int_{x_1}^{x_2} \psi_n^2\,dx$

고전물리와 다른 점

고전적인 입자라면 우물 안 어디서나 같은 확률 로 발견되어야 한다. 그러나 양자역학의 답은 다르다.

$n = 2$ 상태를 보자:

• $x = L/4$, $3L/4$에서 발견 확률 최대
• $x = 0$, $L/2$, $L$에서는 발견 확률이 거의 0

우물 한가운데($L/2$)에 검출기를 놓으면 $n=2$ 전자는 거의 안 잡힌다. 입자라는 직관으로는 도저히 이해할 수 없고, 파동 으로만 설명된다.

대응 원리

$n$이 커지면 어떻게 될까? $n = 15$의 확률밀도:

봉우리가 촘촘해져 실질적으로 균일한 분포 처럼 보인다 — 고전물리의 예측과 같아진다.

대응 원리(correspondence principle) : 충분히 큰 양자수에서 양자물리의 예측은 고전물리의 예측과 부드럽게 이어진다. (닐스 보어)

규격화 — 진폭 $A$ 결정하기

전자는 우물 안 어딘가에는 반드시 있으므로, 전 구간 확률의 합은 1이다:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n^2(x)\,dx = A^2 \int_0^L \sin^2\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx = 1$$

변수를 $y = n\pi x/L$로 치환하면 $dx = (L/n\pi)\,dy$이고, 적분 구간은 $0 \to n\pi$:

$$A^2 \frac{L}{n\pi} \int_0^{n\pi} \sin^2 y \,dy = A^2 \frac{L}{n\pi}\left[\frac{y}{2} - \frac{\sin 2y}{4}\right]_0^{n\pi} = A^2 \frac{L}{n\pi}\cdot\frac{n\pi}{2} = A^2\frac{L}{2}$$

$A^2 L/2 = 1$에서 $A = \sqrt{2/L}$. 따라서:

$$\boxed{\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)}$$

영점 에너지

왜 $n = 0$은 안 될까? $n=0$을 넣으면 모든 $x$에서 $\psi_0(x) = 0$ — 우물 안에 전자가 없다 는 뜻이 되어 모순이다.

• 허용되는 최소 에너지는 $E_1 = h^2/8mL^2 > 0$
• 이를 영점 에너지(zero-point energy) 라 한다
• 갇힌 입자는 결코 정지할 수 없다 — 절대영도에서도!

$L \to \infty$로 우물을 넓히면 $E_1 \to 0$. 하지만 그러면 더 이상 갇힌 입자가 아니라 자유 입자가 된다. 구속이 있는 한 영점 에너지는 0이 될 수 없다.

예제 3: 왼쪽 1/3에서 발견될 확률

$L = 100$ pm 우물의 바닥상태 전자를 왼쪽 1/3 구간($0 \le x \le L/3$)에서 발견할 확률은?

$$P = \int_0^{L/3} \frac{2}{L}\sin^2\!\left(\frac{\pi}{L}x\right)dx$$

$y = \pi x/L$로 치환하면 구간은 $0 \to \pi/3$:

$$P = \frac{2}{\pi}\left[\frac{y}{2} - \frac{\sin 2y}{4}\right]_0^{\pi/3} = \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sin(2\pi/3)}{4}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi} \approx \boxed{0.20}$$

대칭성에 의해 오른쪽 1/3도 0.20이므로, 가운데 1/3에서 발견될 확률은 $1 - 0.20 - 0.20 = 0.60$. 바닥상태 전자는 가운데에 몰려 있다.

39.3 유한 우물 속 전자

현실적인 우물: 깊이가 유한하다

무한히 깊은 우물은 이상화이다. 실제 우물은 깊이가 유한한 값 $U_0$이다. 이를 유한 퍼텐셜 우물(finite potential well) 이라 한다.

이제는 끈의 정상파 유비가 통하지 않는다 — 벽에서 파동함수가 꼭 0이 된다는 보장이 없기 때문이다. 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger's equation) 을 직접 풀어야 한다:

$$\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2 m}{h^2}\left[E - U(x)\right]\psi = 0$$

벽 속으로 스며드는 파동함수

$U_0 = 450$ eV, $L = 100$ pm인 유한 우물을 풀면:

• 파동함수가 벽 안으로 침투(penetration) 하여 지수적으로 감소한다
• 고전물리로는 절대 못 가는 영역에서 전자가 발견될 수 있다 (38장의 터널링과 같은 현상)
• $n$이 클수록(에너지가 높을수록) 더 깊이 스며든다

유한 우물의 에너지 준위

파동이 벽으로 새어 나가면 그만큼 파장 $\lambda$가 길어진다. $\lambda = h/\sqrt{2mE}$이므로 에너지는 낮아진다.

같은 $L = 100$ pm에서 비교하면 ($U_0 = 450$ eV):

• 유한 우물에는 유한 개의 속박 상태만 존재한다 (여기서는 4개)
• $E > U_0$이면 전자는 갇히지 않고, 에너지는 비양자화(nonquantized) — 연속적인 아무 값이나 가능

예제 4: 유한 우물 탈출하기

$U_0 = 450$ eV, $L = 100$ pm 우물의 바닥상태($E_1 = 27$ eV) 전자를 광자 하나로 겨우 탈출시키려면 파장이 얼마여야 할까?

탈출에 필요한 최소 에너지는 $U_0 - E_1 = 450 - 27 = 423$ eV이므로:

$$\lambda = \frac{hc}{U_0 - E_1} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}{(423\ \mathrm{eV})(1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{J/eV})} = \boxed{2.94\ \mathrm{nm}}$$

파장 2.00 nm(더 큰 에너지)의 광자를 흡수하면? 광자 에너지는 $hc/\lambda = 622$ eV. 탈출하고 남은 에너지는 자유 전자의 운동 에너지가 된다:

$$K = 622 - 423 = \boxed{199\ \mathrm{eV}}$$

탈출한 전자는 더 이상 갇혀 있지 않으므로 아무 에너지나 가질 수 있다.

39.4 2차원·3차원 전자 트랩

나노결정: 크기가 색을 결정한다

반도체를 나노미터 크기 알갱이(나노결정, nanocrystallite)로 만들면, 각 알갱이가 전자를 가두는 퍼텐셜 우물이 된다.

$E_n = (h^2/8mL^2)n^2$에서 우물 폭 $L$이 작아지면 준위 간격이 커진다. 광자를 흡수하려면 문턱 에너지 $E_t$ 이상이 필요하므로, 문턱 파장은

$$\lambda_t = \frac{ch}{E_t}$$

• 알갱이가 작을수록 → $E_t$ 증가 → $\lambda_t$ 감소
• 문턱보다 긴 파장은 흡수되지 않고 산란 되어 우리 눈에 보인다
• 같은 CdSe 가루라도: 큰 알갱이는 빨강, 작은 알갱이는 노랑 으로 보인다

양자점: 인공 원자

양자점(quantum dot) 은 반도체 공정으로 만든 인공 전자 트랩이다. 원자처럼 불연속 에너지 준위를 갖기에 "인공 원자"라 불린다.

• 반도체 박막을 절연층 사이에 끼운 샌드위치 구조 — 가운데 층이 우물이 된다
• 전압으로 전자를 한 개씩 넣고 뺄 수 있다 — 갇힌 전자 수를 제어
• QLED 디스플레이 : 양자점 크기로 발광색을 정밀 조절 (작은 점 = 파랑, 큰 점 = 빨강)
• STM 탐침으로 금속 표면에 원자들을 원형으로 배열한 양자 울타리(quantum corral) 안에서도 전자 물질파의 물결무늬가 실제로 관측되었다

2차원 우물: 직사각 코랄

전자가 $xy$평면의 직사각형 영역($L_x \times L_y$)에 갇히면, 물질파가 두 방향 각각 에 대해 정상파 조건을 만족해야 한다. 양자수가 두 개($n_x$, $n_y$) 필요하다:

$$\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{2}{L_x}}\sin\!\left(\frac{n_x\pi}{L_x}x\right)\sqrt{\frac{2}{L_y}}\sin\!\left(\frac{n_y\pi}{L_y}y\right)$$

에너지는 각 방향에 따로 갇혔을 때 에너지의 합 이다:

$$\boxed{E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2}\right)}$$

$n_x$, $n_y$는 각각 독립적으로 $1, 2, 3, \dots$ 값을 가진다.

정사각 우물과 축퇴

$L_x = L_y = L$인 정사각 우물에서는

$$E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8mL^2}\left(n_x^2 + n_y^2\right)$$

$(1,2)$와 $(2,1)$은 서로 다른 상태 이지만 에너지는 같다. 이런 상태들을 축퇴(degenerate) 되었다고 한다. 뜻밖에도 $(1,4)$ 상태(17)가 $(3,3)$ 상태(18)보다 에너지가 낮다.

3차원 상자

3차원 직육면체 상자($L_x \times L_y \times L_z$)에 가두면 양자수가 세 개:

$$E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2}\right)$$

• 차원마다 정상파 조건 하나씩 → 양자수 하나씩
• 정육면체($L_x = L_y = L_z$)에서는 축퇴가 더 풍부해진다
• 광자 흡수·방출 규칙은 1차원과 동일: $hf = \Delta E$

예제 5: 정사각 우물의 준위 차

정사각 코랄에 갇힌 전자의 바닥상태와 셋째 들뜬상태의 에너지 차는? ($h^2/8mL^2$ 단위로)

낮은 준위부터 나열하면 $(n_x^2 + n_y^2)$ 값은:

• 바닥상태 $(1,1)$: 2
• 첫째 들뜬 $(1,2),(2,1)$: 5 — 둘째 들뜬 $(2,2)$: 8 — 셋째 들뜬 $(1,3),(3,1)$: 10

$$\Delta E = 10\left(\frac{h^2}{8mL^2}\right) - 2\left(\frac{h^2}{8mL^2}\right) = \boxed{8\,\frac{h^2}{8mL^2}}$$

축퇴된 준위는 하나의 준위로 세는 것에 주의하자.

39.5 수소 원자

수소 원자는 자연이 만든 전자 트랩

지금까지는 인공 트랩이었다. 이제 자연의 트랩 — 수소 원자 를 보자. 전자는 양성자의 쿨롱 인력에 의해 갇혀 있다:

$$U(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

• 3차원이고, 깊이가 유한하고, 벽이 $r$에 따라 서서히 변하는 트랩
• 20세기 초의 수수께끼: 수소는 가시광에서 딱 네 가지 파장 (656, 486, 434, 410 nm)만 방출한다. 왜?
• 그리고 전자는 왜 양성자로 끌려 들어가 붕괴하지 않는가?

보어 모형 (1913)

닐스 보어는 두 가지 (당시로선 근거 없는) 대담한 가정을 세웠다.

1. 전자는 양성자 주위를 원운동 한다 (행성 모형)
2. 각운동량이 양자화된다:

$$L = n\hbar, \qquad n = 1, 2, 3, \dots \qquad \left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right)$$

이 모형은 수소의 에너지 준위는 정확히 맞혔지만, 그 외에는 거의 다 틀렸다. 그래도 역사적 출발점으로 따라가 볼 가치가 있다.

보어 반지름 유도 1: 뉴턴 제2법칙

원운동하는 전자에 작용하는 구심력은 쿨롱 힘이다. 반지름 방향으로 뉴턴 제2법칙을 쓰면:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$

각운동량 양자화 조건 $L = mvr = n\hbar$에서:

$$v = \frac{n\hbar}{mr}$$

이제 $v$를 뉴턴 제2법칙 식에 대입하면 $r$만 남는다.

보어 반지름 유도 2: 궤도 반지름의 양자화

$$\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{mr}\right)^2 = \frac{n^2\hbar^2}{mr^3}$$

양변에 $r^3$을 곱하고 정리하면 ($\hbar = h/2\pi$):

$$r = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{me^2} = \frac{h^2\varepsilon_0}{\pi m e^2}\,n^2 = a\,n^2$$

$$\boxed{a = \frac{h^2\varepsilon_0}{\pi m e^2} = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m} \approx 52.9\ \mathrm{pm}}$$

$a$를 보어 반지름(Bohr radius) 이라 한다. 전자는 이보다 안쪽 궤도를 가질 수 없다 — 원자가 붕괴하지 않는 이유(보어의 답).

에너지 양자화 유도

궤도의 역학적 에너지는 $E = K + U$:

$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

뉴턴 제2법칙 식에서 $mv^2 = e^2/4\pi\varepsilon_0 r$이므로 $K = e^2/8\pi\varepsilon_0 r$:

$$E = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$$

여기에 $r = an^2 = (h^2\varepsilon_0/\pi me^2)n^2$을 대입하면:

$$\boxed{E_n = -\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{1}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots}$$

수소의 에너지 준위: −13.6 eV

상수 부분을 계산하면:

$$\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} = 2.18 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} = 13.6\ \mathrm{eV}$$

$$\boxed{E_n = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots}$$

• $E_1 = -13.6$ eV (바닥상태), $E_2 = -3.40$ eV, $E_3 = -1.51$ eV, $\dots$, $E_\infty = 0$
• 에너지가 음수 : 속박 상태라는 뜻. $E \ge 0$이면 전자가 풀려나 이온화(ionization) 된다
• 놀랍게도 슈뢰딩거 방정식을 제대로 풀어도 같은 $E_n$ 이 나온다 — 보어의 행운

수소 스펙트럼: 리드버그 공식

준위 사이 전이에서 $hf = \Delta E$이므로, $f = c/\lambda$와 $E_n$ 공식을 결합하면:

$$\frac{hc}{\lambda} = E_{\text{high}} - E_{\text{low}} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\left(\frac{1}{n_{\text{low}}^2} - \frac{1}{n_{\text{high}}^2}\right)$$

양변을 $hc$로 나누면:

$$\boxed{\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_{\text{low}}^2} - \frac{1}{n_{\text{high}}^2}\right)}, \qquad R = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} = 1.097 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$$

$R$는 리드버그 상수(Rydberg constant) 이다. 수소가 내고 삼키는 모든 빛의 파장이 이 한 줄에 담겨 있다.

스펙트럼 계열

아래 준위($n_{\text{low}}$)가 어디냐에 따라 스펙트럼선들이 계열(series) 로 묶인다.

각 계열의 최단 파장을 계열 한계(series limit) 라 한다 ($n_{\text{high}} = \infty$).

수수께끼의 해결: 발머 계열

$n_{\text{low}} = 2$로 두고 $n_{\text{high}} = 3, 4, 5, 6$을 넣어 보자:

• $3 \to 2$: $\dfrac{1}{\lambda} = R\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9}\right) \Rightarrow \lambda = 656$ nm (빨강)
• $4 \to 2$: $\lambda = 486$ nm (청록) — $5 \to 2$: $\lambda = 434$ nm (파랑) — $6 \to 2$: $\lambda = 410$ nm (보라)

정확히 실험에서 관측된 네 가지 가시광 파장이다! 수십 년의 수수께끼가 공식 하나로 풀렸다.

형광등·네온사인·나트륨 가로등의 색도 같은 원리 — 각 원소 고유의 준위 구조가 고유의 스펙트럼을 만든다. 형광(fluorescence) 은 높은 에너지 빛(자외선)을 흡수한 뒤 여러 단계로 나눠 내려오며 가시광을 방출하는 현상이다.

슈뢰딩거가 답한 수소 원자: 양자수

수소 원자를 슈뢰딩거 방정식으로 제대로 풀면, 상태 하나를 지정하는 데 양자수 세 개 가 필요하다 (3차원이므로).

• 에너지는 $n$만으로 결정: $E_n = -13.6/n^2$ eV → 같은 $n$의 상태들은 축퇴
• 바닥상태($n=1$)는 $\ell = 0$, $m_\ell = 0$: 각운동량이 0 이다. $L_1 = \hbar$라 했던 보어 모형은 여기서 틀렸다

바닥상태 파동함수

슈뢰딩거 방정식을 풀어 규격화한 수소 바닥상태의 파동함수는:

$$\psi(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi}\,a^{3/2}}\,e^{-r/a} \qquad (a = 52.9\ \mathrm{pm})$$

• 각도에 무관하고 $r$에만 의존 → 구대칭(spherically symmetric)
• $\psi^2(r)\,dV$ = 부피 요소 $dV$에서 전자가 검출될 확률
• 전자는 궤도를 도는 것이 아니라, 확률 구름으로 퍼져 있다

반지름 $r$ 근처에서 발견될 확률을 보려면 방사 확률밀도 가 필요하다.

방사 확률밀도 $P(r)$ 유도

반지름 $r$과 $r + dr$ 사이의 얇은 구 껍질을 부피 요소로 잡으면:

$$dV = 4\pi r^2\,dr$$

껍질에서 발견될 확률 $P(r)\,dr = \psi^2(r)\,dV$이므로:

$$P(r) = \psi^2(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{1}{\pi a^3}e^{-2r/a}\cdot 4\pi r^2$$

$$\boxed{P(r) = \frac{4}{a^3}\,r^2 e^{-2r/a}}, \qquad \int_0^\infty P(r)\,dr = 1$$

$r^2$ (껍질 부피 증가)와 $e^{-2r/a}$ (밀도 감소)의 경쟁이 봉우리를 만든다.

$P(r)$의 최댓값은 $r = a$

미분해서 0이 되는 지점을 찾자:

$$\frac{dP}{dr} = \frac{4}{a^3}\left(2r\,e^{-2r/a} - \frac{2}{a}r^2 e^{-2r/a}\right) = \frac{8}{a^4}\,r\,(a - r)\,e^{-2r/a} = 0$$

$r = a$에서 최대. 전자가 가장 잘 발견되는 거리가 정확히 보어 반지름 $a = 52.9$ pm이다. 보어의 "궤도 반지름"은 양자역학에서 "최빈 거리"로 의미가 바뀌어 살아남았다.

예제 6: 라이먼 계열의 파장

(a) 라이먼 계열에서 에너지가 가장 작은 광자의 파장은? 가장 작은 점프인 $2 \to 1$이다:

$$\Delta E = E_2 - E_1 = (-3.40) - (-13.6) = 10.2\ \mathrm{eV}$$

$$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}{(10.2)(1.60 \times 10^{-19})} = \boxed{122\ \mathrm{nm}}$$

(b) 라이먼 계열 한계는? $n_{\text{high}} = \infty$이므로:

$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}\right) = R \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{1}{R} = \boxed{91.1\ \mathrm{nm}}$$

둘 다 자외선 영역이다 — 그래서 라이먼 계열은 눈에 보이지 않는다.

Review & Summary

핵심 개념

• 구속 원리 : 파동(물질파 포함)을 가두면 에너지가 양자화된다
• 무한 우물 : $E_n = (h^2/8mL^2)n^2$, $\psi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$
• 광자 흡수·방출 : $hf = hc/\lambda = \Delta E$ — 준위 차와 정확히 같아야 한다
• 유한 우물 : 파동함수가 벽에 침투 → 준위가 낮아지고 유한 개만 존재
• 2·3차원 트랩 : 차원마다 양자수 하나씩, 같은 에너지의 다른 상태 = 축퇴
• 수소 원자 : $E_n = -13.6/n^2$ eV, 스펙트럼은 리드버그 공식으로

핵심 공식

기억할 것 : 보어 반지름 $a = 52.9$ pm — 바닥상태 수소에서 전자가 가장 잘 발견되는 거리이며, $P(r) = (4/a^3)r^2e^{-2r/a}$의 봉우리이다.