36장: 회절

Diffraction

지난 장과 이번 장

35장에서 우리는 두 개의 좁은 슬릿을 지난 빛이 만드는 간섭(interference) 무늬를 배웠다. 그때 슬릿은 "무한히 좁다"고 가정했다.

이번 장에서는 그 가정을 걷어낸다.

• 슬릿의 폭 이 유한하면, 하나의 슬릿만으로도 무늬가 생긴다 → 회절(diffraction)
• 회절은 빛이 좁은 틈이나 모서리를 지날 때 퍼지면서 스스로 간섭 하는 현상이다
• 렌즈·망원경·눈의 분해능 , 분광기의 회절 격자 , 결정 구조를 밝히는 X선 회절 까지 — 모두 이번 장의 물리다

일상 속의 회절: CD의 무지개

CD 표면의 미세한 트랙(간격 약 $1.6\ \mu\mathrm{m}$)이 회절 격자(diffraction grating) 역할을 해서 백색광을 색깔별로 갈라놓는다. 이번 장이 끝나면 이 무지개색의 각도를 직접 계산할 수 있다.

이번 장의 핵심 결론

1. 단일슬릿의 어두운 무늬 : 폭 $a$인 슬릿, 파장 $\lambda$일 때 $$a\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 1, 2, 3, \dots$$
2. 원형 개구의 분해능 (레일리 기준) : 지름 $d$인 구멍(렌즈)의 한계각 $$\theta_R = 1.22\,\frac{\lambda}{d}$$
3. 회절 격자의 밝은 선 과 브래그 법칙 $$d\sin\theta = m\lambda, \qquad 2d\sin\theta = m\lambda$$

36.1 단일슬릿 회절

회절이란 무엇인가

파동이 파장과 비슷한 크기의 틈(aperture) 이나 모서리(edge) 를 만나면, 직진하지 않고 퍼져 나가면서 간섭 한다. 이것이 회절(diffraction) 이다.

• 기하광학이라면: 슬릿 모양 그대로의 밝은 띠가 스크린에 생겨야 한다
• 실제로는: 넓고 밝은 중앙 극대 + 양옆의 약한 곁 극대(side maxima) + 그 사이의 극소(어두운 무늬) 가 생긴다

기하광학은 근사일 뿐이고, 빛의 파동성 이 드러나는 대표적 현상이다.

하위헌스 원리로 보는 회절

하위헌스 원리(Huygens' principle) : 파면 위의 모든 점은 새로운 구면 잔파(wavelet) 의 파원이 되고, 다음 순간의 파면은 이 잔파들의 포락면이다.

슬릿을 지나는 순간 슬릿 안의 각 점이 파원이 되어, 빛은 기하학적 그림자 영역까지 퍼진다. 퍼진 잔파들이 서로 간섭하여 밝고 어두운 무늬를 만든다.

일상에서 만나는 회절

• 소리의 회절 : 문이 조금만 열려 있어도 방 안의 소리가 들린다 — 소리의 파장(수십 cm~수 m)이 문틈과 비슷해서 크게 퍼진다
• 손가락 틈 : 두 손가락을 거의 붙이고 밝은 빛을 보면 틈 사이에 어두운 줄무늬가 보인다
• 비문증(floaters) : 밝은 하늘을 볼 때 떠다니는 실오라기 — 눈 속 유리체의 작은 부유물이 만드는 회절 무늬가 망막에 맺힌 것
• 가로등 주변의 빛 번짐 고리 : 각막·수정체 속 미세 구조가 만드는 회절

빛의 파장은 약 $0.5\ \mu\mathrm{m}$로 매우 짧아서, 회절이 잘 보이려면 틈도 그만큼 좁아야 한다.

역사: 프레넬 밝은 점

19세기 초까지도 뉴턴의 입자설이 우세했다. 1819년 프랑스 과학원 공모전에서 프레넬(Fresnel) 이 빛의 파동설로 회절을 설명하자, 입자설 지지자 푸아송(Poisson) 이 반박했다.

"파동설이 맞다면, 둥근 원판의 그림자 한가운데 에 밝은 점이 생겨야 한다. 이는 말도 안 된다!"

실험을 해 보니 — 그 밝은 점이 실제로 있었다. 이것이 프레넬 밝은 점(Fresnel bright spot) 이다. 원판 가장자리를 돌아온 잔파들이 중심축 위에서는 모두 같은 거리를 지나 보강 간섭 하기 때문이다. 파동설의 결정적 승리였다.

단일슬릿 실험의 기하

폭 $a$인 긴 슬릿에 파장 $\lambda$인 평면파를 비추고, 멀리 떨어진 스크린($D \gg a$)에 생기는 무늬를 본다.

• 스크린 위의 점은 중앙축에서 잰 각도 $\theta$ 로 표시한다
• 슬릿 안의 서로 다른 점에서 출발한 잔파들이 그 점에서 간섭한다
• $D \gg a$이므로 한 점으로 가는 광선들은 평행 하다고 근사할 수 있다

중앙은 왜 밝은가

중앙점 $P_0$($\theta = 0$)를 보자.

• 슬릿 안 모든 점 에서 $P_0$까지의 거리가 (거의) 같다
• 잔파들이 모두 같은 위상 으로 도착한다 → 완전 보강 간섭
• 따라서 중앙에는 항상 밝고 넓은 중앙 극대(central maximum) 가 생긴다

문제는 어두운 무늬(극소)의 위치다. 여기서 교재는 영리한 전략을 쓴다: 슬릿을 같은 폭의 구역(zone)으로 나누어 잔파를 쌍으로 짝지어 상쇄 조건을 찾는다.

첫 극소: 슬릿을 반으로 나눈다

슬릿을 폭 $a/2$인 두 구역 으로 나누고, 윗구역 꼭대기에서 나온 광선 $r_1$과 아랫구역 꼭대기(슬릿 중앙)에서 나온 광선 $r_2$를 생각한다.

두 광선은 슬릿에서 같은 위상으로 출발하지만, $P_1$까지 가는 경로차(path length difference) 는 그림의 직각삼각형에서

$$\Delta L = \frac{a}{2}\sin\theta$$

첫 극소의 조건

두 잔파가 $P_1$에서 상쇄되려면 경로차가 반파장이어야 한다:

$$\frac{a}{2}\sin\theta = \frac{\lambda}{2}$$

핵심은 이 논리가 $r_1,\ r_2$만이 아니라 두 구역의 대응점 모든 쌍 에 적용된다는 것이다. 윗구역의 어떤 점이든, 그보다 $a/2$ 아래의 점과 짝을 이루어 정확히 $\lambda/2$의 경로차로 상쇄된다.

슬릿 전체의 빛이 쌍쌍이 소멸하므로 $P_1$은 완전히 어둡다:

$$\boxed{a\sin\theta = \lambda \qquad (\text{첫 극소})}$$

슬릿을 좁히면 무늬는 넓어진다

첫 극소 조건 $\sin\theta_1 = \lambda/a$에서 바로 읽을 수 있다:

• 슬릿을 좁힐수록 ($a\downarrow$) → $\theta_1$이 커진다 → 빛이 더 넓게 퍼진다
• 파장을 늘릴수록 ($\lambda\uparrow$) → 같은 효과
• $a = \lambda$가 되면 $\sin\theta_1 = 1$, 즉 $\theta_1 = 90°$ → 중앙 극대가 스크린 전체를 덮는다

"좁은 틈일수록 더 퍼진다"는 직관과 반대처럼 느껴지지만, 이것이 파동의 본성이다. 35장에서 이중슬릿을 "점광원"으로 취급할 수 있었던 것도 $a \ll \lambda$ 조건 덕분이다.

둘째 극소: 슬릿을 넷으로 나눈다

같은 전략으로 슬릿을 폭 $a/4$인 네 구역 으로 나눈다. 이웃한 구역의 대응점 쌍의 경로차가 $\lambda/2$이면 네 구역의 빛이 쌍쌍이 상쇄된다:

$$\frac{a}{4}\sin\theta = \frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad a\sin\theta = 2\lambda \qquad (\text{둘째 극소})$$

일반적으로 슬릿을 $2m$개의 구역으로 나누면 $m$번째 극소를 얻는다:

$$\boxed{a\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 1, 2, 3, \dots \quad (\text{극소 — 어두운 무늬})}$$

암기법 : 슬릿의 맨 위와 맨 아래 광선의 경로차가 $a\sin\theta$인데, 이것이 파장의 정수배 일 때 어둡다.

주의: 경로차가 $\lambda$인데 왜 어두운가

"맨 위와 맨 아래 광선의 경로차가 정확히 $\lambda$이면 두 광선은 같은 위상 아닌가? 그런데 왜 밝지 않고 어둡지?"

• 무늬는 두 광선 이 아니라 슬릿 전체의 무수히 많은 잔파 가 만든다
• 경로차가 $a\sin\theta = \lambda$일 때, 슬릿의 모든 잔파는 자신과 정확히 $\lambda/2$ 어긋난 짝을 하나씩 갖는다
• 모든 잔파가 짝과 함께 소멸하므로 알짜 진폭은 0이다

밝은 곁 극대는 이웃한 극소들의 대략 중간에 있다 (정확한 위치는 36.2에서).

예제 1: 백색광 단일슬릿

폭 $a$인 슬릿에 백색광을 비추었더니, 파장 $\lambda = 650$ nm인 빨간빛의 첫 극소가 $\theta = 15°$에 생겼다.

(a) 슬릿 폭 $a$는?

첫 극소 조건 $a\sin\theta = m\lambda$에 $m = 1$을 대입:

$$a = \frac{m\lambda}{\sin\theta} = \frac{(1)(650\ \mathrm{nm})}{\sin 15°} = \frac{650}{0.2588}\ \mathrm{nm} \approx 2511\ \mathrm{nm} \approx 2.5\ \mu\mathrm{m}$$

빛이 $\pm 15°$나 퍼지려면 슬릿이 파장의 겨우 4배 정도로 좁아야 한다. 머리카락 굵기(약 $100\ \mu\mathrm{m}$)의 $1/40$이다.

예제 1 (계속)

(b) 같은 $15°$ 방향에 첫 곁 극대가 오는 빛의 파장 $\lambda'$는?

곁 극대는 극소들의 대략 중간에 있으므로, $m = 1$과 $m = 2$ 사이인 $m \approx 1.5$로 근사한다:

$$a\sin\theta = 1.5\lambda' \quad\Rightarrow\quad \lambda' = \frac{a\sin 15°}{1.5} = \frac{(2511\ \mathrm{nm})(0.2588)}{1.5} \approx 433\ \mathrm{nm}$$

약 $430$ nm의 보라색 빛이다. 즉 같은 각도에서 빨간빛은 어둡고 보랏빛은 밝다 — 백색광 회절 무늬에 색이 지는 이유다.

36.2 단일슬릿 회절의 세기

목표: 세기 $I(\theta)$의 완전한 공식

36.1에서는 극소의 위치 만 구했다. 이제 임의의 각 $\theta$에서 세기(intensity) 를 구한다.

전략: 슬릿을 폭 $\Delta x$인 $N$개의 미소 구역으로 나누고, 각 구역을 잔파의 점파원으로 취급하여 위상자(phasor) 로 합성한다.

이웃한 구역에서 나온 잔파 사이의 경로차는 $\Delta x \sin\theta$이므로, 위상차는

$$\Delta\phi = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)(\Delta x \sin\theta)$$

$\theta = 0$이면 $\Delta\phi = 0$, $\theta$가 커질수록 위상차가 커진다.

위상자로 본 네 지점

$N$개의 위상자를 머리-꼬리로 이어 붙인 합성 벡터의 길이가 전기장 진폭 $E$다.

• (a) $\theta = 0$: 모두 같은 위상, 일직선 → $E = E_m$ (중앙 극대)
• (b) 작은 $\theta$: 사슬이 호를 그리며 진폭 감소
• (c) 전체 위상차 $\phi = 2\pi$: 사슬이 한 바퀴 닫힌다 → $E = 0$ (첫 극소)
• (d) $\phi = 3\pi$: 1.5바퀴 감긴 코일 → 작은 $E$ (첫 곁 극대)

세기 공식

결과를 먼저 쓰면:

$$\boxed{I(\theta) = I_m\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}, \qquad \alpha = \frac{1}{2}\phi = \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta}$$

• $I_m$: 중앙($\theta = 0$)의 최대 세기
• $\phi$: 슬릿 맨 위와 맨 아래 잔파 사이의 전체 위상차
• $\alpha$는 각 $\theta$와 세기를 잇는 편리한 매개변수일 뿐이다

이제 이 공식을 위상자 호의 기하로 유도하자.

유도 1: 위상자 사슬을 호로 보낸다

$N \to \infty$로 보내면 위상자 사슬은 반지름 $R$인 원호가 된다.

• 호의 길이 는 위상자 길이의 총합, 즉 중앙 극대의 진폭 $E_m$ (곧게 펴면 $\theta=0$의 배열)
• 현(chord)의 길이 가 실제 진폭 $E$
• 호가 중심에 대해 벌어진 각이 바로 전체 위상차 $\phi$

유도 2: 호의 기하에서 공식까지

중심에서 현에 수선을 내리면 두 개의 합동 직각삼각형이 생기고,

$$\sin\frac{\phi}{2} = \frac{E/2}{R} \quad\Rightarrow\quad E = 2R\sin\frac{\phi}{2}$$

호의 길이가 $E_m$이고 중심각이 $\phi$(라디안)이므로 $E_m = R\phi$, 즉 $R = E_m/\phi$. 대입하면:

$$E = \frac{2E_m}{\phi}\sin\frac{\phi}{2} = E_m\,\frac{\sin(\phi/2)}{\phi/2}$$

세기는 진폭의 제곱에 비례하므로 ($\alpha \equiv \phi/2$):

$$\frac{I(\theta)}{I_m} = \left(\frac{E}{E_m}\right)^{2} = \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}$$

유도 3: $\alpha$와 $\theta$의 관계

$\phi$는 슬릿 맨 위와 맨 아래 잔파 사이의 위상차이므로, 경로차 $a\sin\theta$에 대응한다:

$$\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\,(a\sin\theta) \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{\phi}{2} = \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta$$

극소 위치 확인 : $\sin\alpha = 0$이면서 $\alpha \neq 0$인 곳, 즉

$$\alpha = m\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta = m\pi \quad\Rightarrow\quad a\sin\theta = m\lambda$$

36.1에서 구역 나누기로 얻은 결과와 정확히 일치한다.

세기 분포: 슬릿 폭의 효과

$a/\lambda$가 클수록(넓은 슬릿) 중앙 극대가 좁아진다. $a \gg \lambda$이면 회절이 거의 사라지고 기하광학의 직진 그림으로 돌아간다.

곁 극대는 얼마나 밝은가

곁 극대는 대략 $\alpha = (m + \tfrac{1}{2})\pi$에 있다 ($m = 1, 2, \dots$). 이때 $\sin\alpha = \pm 1$이므로:

$$\frac{I}{I_m} \approx \frac{1}{\left[(m + \tfrac{1}{2})\pi\right]^{2}}$$

곁 극대는 급격히 어두워진다. 회절 무늬 사진에서 곁 극대를 보이게 하려면 중앙을 과다 노출시켜야 할 정도다.

36.3 원형 개구 회절

에어리 무늬

빛이 지름 $d$인 원형 개구(circular aperture) — 동그란 구멍, 렌즈, 눈동자 — 를 지나면, 점이 아니라 밝은 원반 + 동심원 고리 의 회절 무늬가 생긴다. 이를 에어리 무늬(Airy pattern) 라 한다.

복잡한 해석(베셀 함수)의 결과, 첫 극소는

$$\boxed{\sin\theta = 1.22\,\frac{\lambda}{d} \qquad (\text{원형 개구의 첫 극소})}$$

슬릿의 $\sin\theta = \lambda/a$와 비교하면, 원형이라는 기하 때문에 1.22 라는 인자가 붙는다.

렌즈의 상도 회절 무늬다

렌즈, 망원경, 카메라, 사람의 눈 — 모두 빛이 유한한 지름의 원형 개구 를 통과한다.

• 점광원(별)의 상은 이상적인 점이 아니라 에어리 원반 이다
• 두 점광원이 가까우면 두 에어리 원반이 겹쳐서 구분할 수 없게 된다
• 즉 회절이 모든 광학기기의 분해능(resolvability) 에 근본적인 한계를 준다

아무리 완벽하게 만든 렌즈라도 이 한계는 피할 수 없다. 문제는: 두 점광원을 구분할 수 있는 최소 각분리 는 얼마인가?

레일리 기준

레일리 기준(Rayleigh's criterion) : 한 상의 중앙 극대 가 다른 상의 첫 극소 위에 올 때, 두 상은 겨우 분해된다.

첫 극소각이 $\sin\theta = 1.22\lambda/d$이고 각이 작으므로 $\sin\theta_R \approx \theta_R$:

$$\boxed{\theta_R = 1.22\,\frac{\lambda}{d} \qquad (\text{레일리 기준, 라디안})}$$

분해능을 높이려면

두 점광원의 각분리 $\theta$가 $\theta_R$보다 크면 분해되고, 작으면 하나로 뭉개진다.

$$\theta_R = 1.22\,\frac{\lambda}{d}$$

• 개구를 키운다 ($d\uparrow$): 천체 망원경의 거울을 크게 만드는 이유
• 파장을 줄인다 ($\lambda\downarrow$): 현미경에서 자외선·전자빔(전자현미경)을 쓰는 이유

사람 눈의 실제 분해능은 여러 요인(망막 세포 간격, 수차 등)으로 이보다 나쁘지만, 계산에서는 레일리 기준을 한계로 쓴다.

예제 2: 렌즈의 분해능

지름 $d = 32.0$ mm, 초점거리 $f = 24.0$ cm인 수렴렌즈가 멀리 있는 두 점광원의 상을 초점면에 맺는다. $\lambda = 550$ nm.

(a) 레일리 기준을 만족하는 최소 각분리는?

$$\theta_R = 1.22\,\frac{\lambda}{d} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}}{32 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}} = 2.1 \times 10^{-5}\ \mathrm{rad}$$

(b) 이때 초점면에서 두 상의 중심 사이 거리는?

작은 각 근사에서 상의 간격은 $\Delta x = f\theta_R$:

$$\Delta x = (0.24\ \mathrm{m})(2.1 \times 10^{-5}\ \mathrm{rad}) \approx 5.0\ \mu\mathrm{m}$$

실생활: 눈의 분해능

밤길에 마주 오는 자동차의 두 헤드라이트(간격 약 1.4 m)는 얼마나 멀리서부터 두 개로 보일까? 동공 지름 $d = 5.0$ mm, $\lambda = 550$ nm로 잡으면:

$$\theta_R = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{5.0 \times 10^{-3}} \approx 1.3 \times 10^{-4}\ \mathrm{rad}$$

각분리 $\theta = (1.4\ \mathrm{m})/L$이 $\theta_R$과 같아지는 거리:

$$L = \frac{1.4}{1.3 \times 10^{-4}} \approx 1.0 \times 10^{4}\ \mathrm{m} \approx 10\ \mathrm{km}$$

10 km보다 멀면 헤드라이트 두 개가 한 점 으로 보인다. (실제로는 대기 요동과 눈의 한계로 이보다 가까워야 분해된다.)

실생활: 픽셀이 안 보이는 이유

스마트폰 화면(픽셀 간격 약 $0.05$ mm)을 눈($\theta_R \approx 1.3 \times 10^{-4}$ rad)으로 보면, 픽셀이 구분되는 한계 거리는

$$L = \frac{D}{\theta_R} = \frac{5 \times 10^{-5}}{1.3 \times 10^{-4}} \approx 0.4\ \mathrm{m}$$

40 cm보다 멀리서 보면 픽셀들이 뭉개져 연속된 색 으로 보인다. 점묘법(pointillism) 그림이 멀리서 보면 색이 섞여 보이는 것과 같은 원리다 — 화가가 관객의 회절 한계를 이용하는 셈이다.

36.4 이중슬릿 회절

35장의 가정을 걷어내면

35장의 이중슬릿 간섭에서는 슬릿 폭 $a \ll \lambda$를 가정했다. 그러면 각 슬릿의 중앙 극대가 스크린 전체를 덮어, 모든 간섭 무늬가 같은 밝기 로 나타난다.

실제 슬릿은 폭이 유한하다. 그러면:

• 두 슬릿의 간섭(interference) 이 밝은 무늬의 위치 를 정하고
• 각 슬릿의 회절(diffraction) 이 무늬들의 밝기 를 조절한다

간섭 무늬 위에 단일슬릿 회절 무늬가 포락선(envelope) 으로 씌워진다.

이중슬릿 회절의 세기 공식

폭 $a$인 두 슬릿의 중심 간격이 $d$일 때:

$$\boxed{I(\theta) = I_m\,(\cos^{2}\beta)\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}}$$

$$\beta = \frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta, \qquad \alpha = \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta$$

• $\cos^2\beta$: 간격 $d$인 두 슬릿의 간섭 인자 (35장의 결과)
• $(\sin\alpha/\alpha)^2$: 폭 $a$인 단일슬릿의 회절 인자 (36.2의 결과)

두 효과의 곱 이다.

극한에서 확인하기

공식이 옳다면 익숙한 두 극한을 되돌려 주어야 한다.

• $a \to 0$ (무한히 좁은 슬릿): $\alpha \to 0$이고 $\sin\alpha/\alpha \to 1$ $$I = I_m\cos^{2}\beta \qquad (\text{순수한 이중슬릿 간섭})$$
• $d \to 0$ (두 슬릿이 합쳐짐): $\beta \to 0$이고 $\cos^2\beta \to 1$ $$I = I_m\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} \qquad (\text{폭 } a \text{인 단일슬릿 회절})$$

용어 정리 : 적은 수의 결맞은 점파원이 겹치면 간섭 , 한 파면 안의 연속적인 잔파들이 겹치면 회절 이라 부른다. 둘 다 같은 중첩 원리이고, 실제 무늬에는 보통 둘 다 들어 있다.

간섭 무늬에 씌워지는 회절 포락선

회절 극소($a\sin\theta = \lambda$)와 겹치는 간섭 무늬는 지워진다.

중앙 봉우리 속의 밝은 무늬 개수

• 간섭의 밝은 무늬: $d\sin\theta = m_2\lambda$ ($m_2 = 0, 1, 2, \dots$)
• 회절의 첫 극소: $a\sin\theta = \lambda$

두 식을 나누면, 중앙 회절 봉우리의 가장자리에 해당하는 간섭 차수는

$$m_2 = \frac{d}{a}$$

즉 $|m_2| < d/a$인 간섭 무늬만 중앙 봉우리 안에 살아남는다. $d/a$ 비가 무늬 개수를 결정한다 — $d/a = 4$이면 $m_2 = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$의 7개가 남고, $m_2 = \pm 4$는 회절 극소와 정확히 겹쳐 소멸한다.

예제 3: 무늬 개수 세기

$\lambda = 405$ nm, 슬릿 간격 $d = 19.44\ \mu\mathrm{m}$, 슬릿 폭 $a = 4.050\ \mu\mathrm{m}$.

(a) 중앙 회절 봉우리 안의 밝은 간섭 무늬는 몇 개인가?

$$m_2 = \frac{d}{a} = \frac{19.44\ \mu\mathrm{m}}{4.050\ \mu\mathrm{m}} = 4.8$$

$m_2 = 4$까지는 들어가고 $m_2 = 5$는 못 들어간다. 따라서 중앙 무늬($m_2 = 0$) 하나와 양쪽에 4개씩:

$$1 + 2 \times 4 = \boxed{9\text{개}}$$

예제 3 (계속)

(b) 첫 곁 회절 봉우리 안에는 몇 개인가?

첫 곁 봉우리는 회절의 첫 극소와 둘째 극소 사이, 즉 $a\sin\theta = \lambda$와 $a\sin\theta = 2\lambda$ 사이다. 둘째 극소에 해당하는 간섭 차수는

$$m_2 = \frac{2d}{a} = 9.6$$

따라서 $m_2 = 5, 6, 7, 8, 9$의 5개 가 들어간다. 다만 $m_2 = 5$ 무늬는 회절 첫 극소 바로 옆이라 거의 소멸 상태이므로, 실제로 또렷이 보이는 것은 4개 정도다.

36.5 회절 격자

슬릿을 아주 많이 만들면

회절 격자(diffraction grating) 는 슬릿(눈금, ruling)을 $N$개 — 보통 1 mm에 수천 개 — 새긴 소자다. 빛을 파장별로 갈라 분석하는 데 쓰는 가장 중요한 광학 도구 중 하나다.

이웃한 슬릿 사이 간격 $d$를 격자 간격(grating spacing) 이라 한다. 전체 폭 $w$에 $N$개의 눈금이 있으면 $d = w/N$이다.

밝은 선의 위치

멀리 있는 점 $P$로 가는 광선들은 평행하고, 이웃한 두 광선의 경로차는 $d\sin\theta$ 다. 이것이 파장의 정수배일 때 모든 슬릿의 빛이 보강 간섭한다:

$$\boxed{d\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 0, 1, 2, \dots \quad (\text{극대 — 밝은 선})}$$

• $m$: 차수(order number) — 0차(중앙), 1차, 2차, …
• 같은 차수라도 파장이 길수록 $\theta$가 크다 → 파장별로 갈라진다
• $\theta = \sin^{-1}(m\lambda/d)$를 측정하면 미지의 파장 $\lambda$를 알아낼 수 있다

이중슬릿과 위치 공식은 같지만, 무늬의 모양 이 완전히 다르다: 넓은 줄무늬 대신 아주 가늘고 예리한 선(line) 이 생긴다.

선의 반폭: 왜 가늘어지는가

중앙선($\theta = 0$)의 반폭(half-width) $\Delta\theta_{\mathrm{hw}}$: 선 중심에서 바로 옆 극소까지의 각이다.

$N$개 슬릿 전체를 하나의 "폭 $Nd$인 슬릿"으로 보면, 단일슬릿의 첫 극소 논리(맨 위-맨 아래 경로차 = $\lambda$)를 그대로 쓸 수 있다:

$$Nd\sin\Delta\theta_{\mathrm{hw}} = \lambda$$

$\Delta\theta_{\mathrm{hw}}$가 작으므로 $\sin\Delta\theta_{\mathrm{hw}} \approx \Delta\theta_{\mathrm{hw}}$:

$$\Delta\theta_{\mathrm{hw}} = \frac{\lambda}{Nd} \quad (\text{중앙선}), \qquad \boxed{\Delta\theta_{\mathrm{hw}} = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta} \quad (\theta\text{에 있는 선})}$$

$N$이 클수록 선이 가늘어진다. $N \sim 10^4$이면 선폭은 이중슬릿($N = 2$) 무늬보다 수천 배 가늘다.

$N$이 커질수록 선은 예리해진다

극대의 위치 는 $d$가 정하고($d\sin\theta = m\lambda$), 선의 예리함 은 $N$이 정한다.

격자 분광기

격자 분광기(grating spectroscope) : 광원 → 슬릿·시준기(collimator)로 평면파를 만들고 → 격자에 수직 입사 → 망원경을 각 $\theta$로 돌려 가며 선을 관측한다.

• 수소 방전등: 가시광 영역에 4개의 파장만 방출 — 눈으로는 그냥 희끗한 빛이지만, 분광기로는 각 차수마다 4개의 방출선(emission line) 으로 분리된다
• $m = 0$: 모든 파장이 겹쳐 흰 선, $m \geq 1$: 파장별로 갈라짐 (짧은 파장이 작은 각)
• $\sin\theta = m\lambda/d > 1$이 되는 차수는 생기지 않는다 (불완전 차수)

별빛을 격자에 통과시키면 스펙트럼선으로 별의 조성·온도·속도까지 알 수 있다 — 천체물리의 기본 도구다.

실생활: CD와 DVD의 무지개

CD 표면에는 나선형 트랙이 $d = 1.6\ \mu\mathrm{m}$ 간격으로 새겨져 있다 — 반사형 회절 격자 다.

초록빛($\lambda = 550$ nm)의 1차 극대 각도:

$$\sin\theta = \frac{m\lambda}{d} = \frac{(1)(550\ \mathrm{nm})}{1600\ \mathrm{nm}} = 0.344 \quad\Rightarrow\quad \theta \approx 20°$$

• 빨강($700$ nm)은 $\theta \approx 26°$, 보라($400$ nm)는 $\theta \approx 14.5°$ — 보는 각도에 따라 색이 달라진다
• DVD는 트랙 간격이 $0.74\ \mu\mathrm{m}$로 더 좁아서 색이 더 넓게 갈라진다
• 신용카드의 홀로그램 무늬(OVG)도 미세 격자들이 만드는 회절 상이다

36.6 격자의 분산과 분해능

분산: 선을 얼마나 벌려 놓는가

가까운 두 파장을 구별하려면, 우선 두 선이 각도로 많이 벌어져야 한다. 파장 차 $\Delta\lambda$인 두 선의 각분리가 $\Delta\theta$일 때 분산(dispersion) 은

$$D = \frac{\Delta\theta}{\Delta\lambda}$$

유도 : $d\sin\theta = m\lambda$의 양변을 미분하면

$$d\cos\theta \,d\theta = m\,d\lambda \quad\Rightarrow\quad \boxed{D = \frac{\Delta\theta}{\Delta\lambda} = \frac{m}{d\cos\theta}}$$

분산을 키우려면: 격자 간격 $d$를 줄이고 , 높은 차수 $m$에서 관측한다. 눈금 수 $N$과는 무관 하다.

분해능: 선이 얼마나 가는가

벌어져 있어도 선이 뚱뚱하면 겹쳐 보인다. 겨우 구별되는 두 파장의 평균이 $\lambda_{\mathrm{avg}}$, 차이가 $\Delta\lambda$일 때 분해능(resolving power) 은

$$R = \frac{\lambda_{\mathrm{avg}}}{\Delta\lambda}$$

유도 : 레일리 기준에 따라, 두 선이 겨우 분해되려면 각분리 $\Delta\theta$가 선의 반폭과 같아야 한다:

$$\Delta\theta = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta}$$

분산 관계 $d\cos\theta\,\Delta\theta = m\,\Delta\lambda$에 대입하면

$$\frac{\lambda}{N} = m\,\Delta\lambda \quad\Rightarrow\quad \boxed{R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = Nm}$$

분산 vs 분해능

$\lambda = 589$ nm, $m = 1$에서 세 격자를 비교하면:

• A와 B: $d$가 같아 분산 동일 — 하지만 B는 $N$이 2배라 선이 2배 가늘다 (분해능 2배)
• A와 C: $N$이 같아 분해능 동일 — 하지만 C는 $d$가 작아 선들을 2배 넓게 벌린다

분산은 "벌리기", 분해능은 "가늘게 만들기" — 서로 다른 능력이다.

예제 4: 나트륨 이중선

나트륨 램프의 노란빛에는 $\lambda = 589.00$ nm와 $589.59$ nm의 두 방출선(나트륨 이중선)이 있다. 폭 $w = 25.4$ mm에 눈금 $N = 1.26 \times 10^{4}$개인 격자로 관측한다.

(a) 589.00 nm 빛의 1차 극대는 몇 도에 생기는가?

격자 간격은

$$d = \frac{w}{N} = \frac{25.4 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}}{1.26 \times 10^{4}} = 2016\ \mathrm{nm}$$

$$\theta = \sin^{-1}\frac{m\lambda}{d} = \sin^{-1}\frac{(1)(589.00)}{2016} = \sin^{-1}(0.2922) \approx 17.0°$$

예제 4 (계속)

(b) 1차에서 두 선의 각분리는?

$$D = \frac{m}{d\cos\theta} = \frac{1}{(2016\ \mathrm{nm})(\cos 17.0°)} = 5.19 \times 10^{-4}\ \mathrm{rad/nm}$$

$$\Delta\theta = D\,\Delta\lambda = (5.19 \times 10^{-4})(0.59\ \mathrm{nm}) = 3.06 \times 10^{-4}\ \mathrm{rad} \approx 0.018°$$

(c) 이중선을 1차에서 분해하는 데 필요한 최소 눈금 수는?

$$N = \frac{R}{m} = \frac{\lambda_{\mathrm{avg}}}{m\,\Delta\lambda} = \frac{589.30\ \mathrm{nm}}{(1)(0.59\ \mathrm{nm})} \approx 999\text{개}$$

이 격자($N = 12600$)로는 여유 있게 분해된다.

36.7 X선 회절

X선에는 보통 격자가 소용없다

X선(x rays) 은 파장이 약 $1\ \text{Å} = 0.1$ nm인 전자기파다 (가시광의 약 1/5000).

$\lambda = 0.1$ nm를 $d = 3000$ nm짜리 좋은 격자에 넣어 보면:

$$\theta = \sin^{-1}\frac{m\lambda}{d} = \sin^{-1}\frac{0.1}{3000} = 0.0019°$$

중앙 극대에 파묻혀 측정이 불가능하다. $d \approx \lambda$인 격자가 필요한데, 원자 크기 간격의 눈금을 기계로 새길 수는 없다.

1912년 폰 라우에(von Laue) 의 통찰: 결정(crystal) 은 원자들이 약 $0.1$ nm 간격으로 규칙적으로 배열된, 자연이 만든 3차원 회절 격자 다.

결정면과 브래그 반사

NaCl 같은 결정에서는 단위 세포(unit cell) 가 주기적으로 반복된다. X선이 들어가면 모든 원자에서 산란되는데, 그 결과는 마치 원자들을 지나는 평행한 반사면(결정면, crystal planes) 들이 X선을 거울처럼 반사하는 것처럼 정리된다.

• 면 간격(interplanar spacing)을 $d$라 한다
• 각 $\theta$는 광학 관례와 달리 면에서 잰다 (법선 기준이 아니다!)

브래그 법칙의 유도

이웃한 두 면에서 반사된 빛살 1과 2를 비교하자. 그림의 두 직각삼각형에서, 빛살 2가 더 가는 거리는 들어올 때 $d\sin\theta$, 나갈 때 $d\sin\theta$:

$$\Delta L = 2d\sin\theta$$

두 빛살이 반사 후에도 같은 위상이 되려면(보강 간섭) 경로차가 파장의 정수배여야 한다:

$$\boxed{2d\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 1, 2, 3, \dots \quad (\text{브래그 법칙})}$$

브래그(W. L. Bragg) 가 유도했고, 아버지와 함께 1915년 노벨상을 받았다 (당시 25세, 물리학상 역대 최연소).

X선 회절로 무엇을 하는가

$$2d\sin\theta = m\lambda$$

한 결정 안에도 방향에 따라 여러 가족의 결정면 이 있고, 각 가족은 자기만의 면 간격 $d$를 갖는다. 예컨대 정사각 격자(한 변 $a_0$)의 한 기울어진 면 가족은 $d = a_0/\sqrt{20} = 0.2236\,a_0$이다.

• $\lambda$를 알면 → 극대 각도 $\theta$에서 면 간격 $d$와 단위 세포 구조를 알아낸다 (결정학)
• $d$를 알면 → 미지의 X선 파장 $\lambda$을 측정한다 (X선 분광학)

DNA 이중나선(1953)도 로절린드 프랭클린의 X선 회절 사진에서 밝혀졌다. 오늘날 단백질 구조 결정의 표준 도구다.

Review & Summary

핵심 개념

• 회절 : 파동이 파장 크기의 틈·모서리를 만나 퍼지며 스스로 간섭하는 현상 — 좁은 슬릿일수록, 긴 파장일수록 크게 퍼진다
• 단일슬릿 : 구역 나누기(쌍쌍 상쇄)로 극소 위치, 위상자 호로 세기 공식을 얻는다
• 레일리 기준 : 회절이 모든 광학기기의 분해능을 제한한다 — 큰 개구, 짧은 파장이 유리
• 이중슬릿 회절 : 간섭 인자 × 회절 인자, $d/a$가 살아남는 무늬 수를 결정
• 회절 격자 : 위치는 $d$가, 선폭은 $N$이 결정 — 분산 $D$와 분해능 $R$은 다른 능력
• X선 회절 : 결정이 3차원 격자 — 브래그 법칙으로 원자 배열을 읽는다

핵심 공식

기억할 것:

• 단일슬릿에서 $m\lambda$는 어두운 무늬, 격자에서 $m\lambda$는 밝은 선 — 헷갈리지 말 것
• 슬릿을 좁히면 무늬는 넓어진다 ($\sin\theta_1 = \lambda/a$)
• 분해능이 아쉬우면: 개구는 키우고, 파장은 줄여라