35장: 간섭

Interference

비눗방울은 왜 무지개색일까?

비눗물 자체는 거의 무색이다. 그런데 비눗방울 표면에는 알록달록한 색이 물결친다.

• 물감이나 색소 때문이 아니다
• 얇은 막의 앞면과 뒷면에서 반사된 빛이 서로 겹치면서 만드는 색이다

이 현상이 바로 이번 장의 주제, 빛의 간섭(interference) 이다.

이번 장에서 배울 내용

1. 빛은 파동이다 : 하위헌스 원리, 그리고 매질 속에서 파장이 $\lambda_n = \lambda/n$으로 짧아진다는 사실
2. 영의 이중슬릿 실험 : 두 슬릿을 지난 빛이 스크린에 밝고 어두운 무늬(fringes) 를 만든다 $$d\sin\theta = m\lambda \quad (\text{밝은 무늬})$$
3. 박막 간섭과 간섭계 : 비눗방울·기름막의 색, 안경 렌즈의 반사 방지 코팅, 그리고 중력파 검출까지

핵심 아이디어는 단 하나다: 두 파동이 만날 때 위상차(phase difference) 가 결과를 결정한다.

35.1 빛은 파동이다

하위헌스 원리

1678년 네덜란드의 하위헌스(Christiaan Huygens)는 빛을 파동으로 기술하는 첫 이론을 세웠다. 그 핵심이 하위헌스 원리(Huygens' principle) 이다.

파면 위의 모든 점은 구면 잔파(wavelet) 의 점광원이 되고, 시간 $\Delta t$ 후의 새 파면은 이 잔파들에 접하는 면이다.

평면파의 각 점에서 반지름 $c\,\Delta t$의 잔파가 퍼지고, 그 접평면이 새 파면이 된다. 기하학적 작도만으로 파동의 전파를 예측할 수 있다.

하위헌스 원리로 굴절을 설명하기

빛이 공기에서 유리로 들어가면 속력이 $v_1$에서 $v_2$로 느려진다($v_2 < v_1$). 파면이 어떻게 꺾이는지 작도해 보자.

• 광선 1이 경계면의 점 $a$에 도착한 순간, 입사 파면은 $a$와 $b$를 잇는 선이다
• 광선 2는 아직 $\lambda_1$만큼 더 진행해야 점 $c$에 도착한다
• 그 시간 동안 $a$에서 나온 잔파는 유리 속에서 반지름 $\lambda_2$만큼만 퍼진다
• 새 파면은 $c$에서 이 잔파에 접하는 선 $cd$이다 → 파면이 꺾인다

굴절 법칙 유도

두 직각삼각형에 주목하자. 빗변 $ac$는 공통이다.

삼각형 $abc$ (직각은 $b$)에서, 파면과 경계면 사이의 각은 입사각 $\theta_1$과 같으므로:

$$\sin\theta_1 = \frac{\lambda_1}{ac}$$

삼각형 $adc$ (직각은 $d$)에서, 같은 논리로 굴절각 $\theta_2$에 대해:

$$\sin\theta_2 = \frac{\lambda_2}{ac}$$

두 식을 나누면 $ac$가 약분된다:

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1}{v_2}$$

같은 시간 동안 진행한 거리가 파장이므로 $\lambda_1/\lambda_2 = v_1/v_2$이다.

굴절률과 스넬 법칙

굴절률(index of refraction) 은 진공에서의 광속 $c$와 매질 속 광속 $v$의 비로 정의한다:

$$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$

두 매질에 대해 $n_1 = c/v_1$, $n_2 = c/v_2$이므로:

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{c/n_1}{c/n_2} = \frac{n_2}{n_1}$$

$$\boxed{n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2}$$

33장에서 실험 법칙으로 소개했던 스넬 법칙(Snell's law) 이 하위헌스 원리에서 유도된다. 빛이 파동이라는 강력한 증거다.

매질 속에서 파장이 짧아진다

진공에서 파장 $\lambda$, 속력 $c$인 빛이 굴절률 $n$인 매질에 들어가면 속력이 $v$가 된다. 파장은 속력에 비례하므로:

$$\lambda_n = \lambda\,\frac{v}{c}$$

여기에 $v/c = 1/n$을 대입하면:

$$\boxed{\lambda_n = \frac{\lambda}{n}}$$

• 물($n = 1.33$) 속에서 파장은 진공의 $1/1.33 = 75\%$
• 유리($n = 1.5$) 속에서는 $2/3$로 줄어든다

굴절률이 클수록 파장이 짧아진다. 이 사실이 이번 장 전체를 관통하는 열쇠다.

진동수는 변하지 않는다

매질 속에서의 진동수 $f_n$을 구해 보자. 파동의 기본 관계 $v = \lambda f$에서:

$$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{c/n}{\lambda/n} = \frac{c}{\lambda} = f$$

$n$이 분자와 분모에서 약분되어 사라진다.

• 속력과 파장은 매질에 따라 바뀌지만, 진동수는 그대로 이다
• 경계면에서 파동이 연속적으로 이어지려면 양쪽의 진동수가 같아야 하기 때문

빛의 색은 진동수가 결정하므로, 물속에서 보아도 빨간빛은 여전히 빨갛다.

굴절률이 다르면 위상차가 생긴다

같은 위상으로 출발한 두 빛이 길이 $L$은 같지만 굴절률이 다른 두 매질을 통과하면 어떻게 될까?

• 매질 속에서 파장이 $\lambda/n$으로 짧아지므로, 굴절률이 큰 쪽에 더 많은 파장 이 들어간다
• 두 매질을 빠져나올 때 두 파동은 더 이상 같은 위상이 아니다

두 빛이 굴절률이 다른 물질을 지나면 위상차가 달라질 수 있다.

위상차를 파장 개수로 세기

길이 $L$인 매질 1(굴절률 $n_1$) 속의 파장은 $\lambda_{n1} = \lambda/n_1$이므로, 그 안에 들어가는 파장의 개수는:

$$N_1 = \frac{L}{\lambda_{n1}} = \frac{L n_1}{\lambda}$$

마찬가지로 매질 2(굴절률 $n_2$) 속에는:

$$N_2 = \frac{L}{\lambda_{n2}} = \frac{L n_2}{\lambda}$$

$n_2 > n_1$이라 하면, 빠져나온 두 파동의 위상차는 (파장 단위로):

$$\boxed{N_2 - N_1 = \frac{L}{\lambda}\,(n_2 - n_1)}$$

파장 1개의 위상차는 $2\pi\ \mathrm{rad} = 360^\circ$에 해당한다.

유효 위상차와 간섭의 종류

위상차가 45.6파장이라고 하자. 정수 45파장만큼의 밀림은 파동을 다시 원래 위상으로 되돌리므로, 실제로 중요한 것은 소수 부분이다:

• 유효 위상차(effective phase difference) = 0.6파장

위상차(파장 단위)에 따른 간섭:

주의: 유효 위상차는 파장 단위 로 소수 부분을 취해야 한다. 라디안이나 도 단위에서 소수 부분을 취하면 안 된다.

예제 1: 굴절률 차이가 만드는 위상차

파장 $\lambda = 550.0$ nm로 같은 위상으로 출발한 두 빛이 있다. 하나는 공기($n_1 = 1.000$), 다른 하나는 두께 $L = 2.600\ \mu\mathrm{m}$의 투명 플라스틱($n_2 = 1.600$)을 통과한다. 빠져나온 두 파동의 위상차는?

$$N_2 - N_1 = \frac{L}{\lambda}(n_2 - n_1) = \frac{2.600 \times 10^{-6}}{5.500 \times 10^{-7}}\,(1.600 - 1.000)$$

$$N_2 - N_1 = (4.727)(0.600) = 2.84\ \text{파장}$$

라디안과 도 단위로는:

$$2.84 \times 2\pi = 17.8\ \mathrm{rad}, \qquad 2.84 \times 360^\circ \approx 1020^\circ$$

유효 위상차는 소수 부분인 0.84파장 이다.

예제 1 (계속): 어떤 간섭이 일어날까?

두 파동이 멀리 있는 스크린의 같은 점에 도달한다면, 얼마나 밝을까?

• 유효 위상차 0.84파장을 기준값과 비교한다
• $0.5$파장이면 완전 상쇄(가장 어두움), $1.0$파장이면 완전 보강(가장 밝음)
• $0.84$는 $0.5$보다 $1.0$에 가깝다

따라서 두 파동은 보강 쪽에 가까운 중간 간섭 을 일으켜, 비교적 밝은 점을 만든다.

이렇게 위상차 하나로 밝기가 결정된다. 다음 절부터는 위상차를 만드는 두 번째 방법 — 경로차 — 를 다룬다.

자연이 보여주는 간섭: 무지개

33장에서 무지개는 물방울 속의 굴절·분산으로 설명했다. 그런데 실제로는 빛이 물방울의 여러 경로 를 지나 나오면서 간섭도 함께 일어난다.

• 무지개의 빨간 띠: 여러 물방울에서 나온 빨간빛이 같은 위상 으로 나와 보강 간섭한 방향
• 운이 좋으면 1차 무지개 안쪽에 희미한 과잉 무지개(supernumeraries) 가 겹쳐 보인다 — 순수한 간섭 효과

무지개 자체가 "빛은 파동"이라는 자연의 증거인 셈이다.

35.2 영의 간섭 실험

회절: 파동은 좁은 틈에서 퍼진다

파동이 파장과 비슷한 크기의 틈을 만나면, 틈을 지난 파동은 부채꼴로 퍼져 나간다. 이를 회절(diffraction) 이라 한다.

• 슬릿 폭 $a$가 좁을수록 회절이 심해진다 ($a = 6\lambda$보다 $a = 1.5\lambda$에서 훨씬 넓게 퍼짐)
• 하위헌스 잔파가 퍼지는 것과 같은 원리다
• 방파제 틈으로 바닷물결이 퍼져 들어오는 것도 회절이다

회절 때문에 빛을 가는 "광선"으로 만들려는 시도는 실패한다. 슬릿을 좁힐수록 빛은 더 퍼진다. 기하광학은 틈이 $\lambda$보다 충분히 클 때만 성립한다.

영의 이중슬릿 실험 (1801)

토머스 영(Thomas Young)은 빛의 간섭을 실험으로 보여 빛이 파동임을 증명했고, 햇빛의 평균 파장까지 측정했다(570 nm — 현대값 555 nm에 놀랍도록 가깝다).

• 단색광이 슬릿 $S_0$를 지나며 회절로 퍼진다
• 퍼진 빛이 두 슬릿 $S_1$, $S_2$를 같은 위상 으로 비춘다
• 두 슬릿에서 나온 원형파가 겹치는 영역에서 간섭이 일어난다

스크린에 나타나는 간섭 무늬

스크린에는 밝은 띠와 어두운 띠가 교대로 나타난다. 이를 간섭 무늬(interference pattern) 라 한다.

• 밝은 무늬(bright fringes) : 두 파동이 보강 간섭하는 곳 — 극대(maxima)
• 어두운 무늬(dark fringes) : 완전 상쇄 간섭하는 곳 — 극소(minima)

무엇이 어느 지점이 밝을지를 결정할까?

스크린 위 각 점의 밝기는 그 점까지 오는 두 광선의 경로차(path length difference) $\Delta L$이 결정한다.

두 파동은 슬릿에서 같은 위상으로 출발하지만, 스크린의 한 점까지 가는 거리가 서로 다르기 때문이다.

보강과 상쇄: 파동 덧셈 복습

• 경로차가 $\Delta L = m\lambda$ ($m = 0, 1, 2, \dots$)이면 마루와 마루가 만난다 → 진폭 2배
• 경로차가 $\Delta L = (m+\tfrac{1}{2})\lambda$이면 마루와 골이 만난다 → 진폭 0

경로차의 기하학

슬릿 간격 $d$, 스크린까지의 거리 $D$, 스크린 위 점 $P$의 각도를 $\theta$라 하자.

$D \gg d$이면 두 광선 $r_1$, $r_2$는 거의 평행하다. $S_2$에서 $r_1$에 내린 수선의 발을 $b$라 하면, $b$부터 $P$까지 두 광선의 거리는 같으므로 경로차는 $S_1 b$ 구간뿐이다.

경로차 공식: ΔL = d sin θ

확대한 직각삼각형을 보자.

• 빗변: 슬릿 사이 거리 $d$ (선분 $S_1 S_2$)
• $S_2 b$는 파면(광선에 수직)이므로 $S_1 S_2 b$는 직각삼각형
• 슬릿 축과 파면 사이의 각 = 광선과 수평선 사이의 각 = $\theta$

따라서 $\theta$의 대변인 $S_1 b$는:

$$\boxed{\Delta L = d\sin\theta}$$

각도 $\theta$가 커질수록(스크린 중앙에서 멀어질수록) 경로차가 커진다. 경로차가 커지면서 보강과 상쇄가 교대로 나타난다 — 이것이 줄무늬의 정체다.

밝은 무늬와 어두운 무늬의 조건

경로차를 간섭 조건에 대입하면:

밝은 무늬 (보강) — 경로차가 파장의 정수배:

$$\boxed{d\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 0, 1, 2, \dots}$$

어두운 무늬 (상쇄) — 경로차가 반파장의 홀수배:

$$\boxed{d\sin\theta = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda, \qquad m = 0, 1, 2, \dots}$$

$m = 0$인 밝은 무늬는 $\theta = 0$, 즉 중앙축 위에 있다. 이를 중앙 극대(central maximum) 라 한다.

무늬의 이름 붙이기

$m$ 값으로 각 무늬를 부른다. 중앙 극대 위아래로 대칭이다.

• $m = 2$인 밝은 무늬: $\theta = \sin^{-1}\dfrac{2\lambda}{d}$ — 2차 밝은 무늬(second-order bright fringe), 또는 두 번째 곁극대(second side maximum)
• $m = 1$인 어두운 무늬: $\theta = \sin^{-1}\dfrac{1.5\lambda}{d}$ — 중앙에서 두 번째 어두운 무늬(second minimum)

주의할 점:

• 어두운 무늬는 $m = 0$이 첫 번째 극소다 ($\Delta L = 0.5\lambda$)
• 같은 $m$이라도 밝은 무늬 공식과 어두운 무늬 공식은 서로 다른 위치를 가리킨다

무늬의 위치: 작은 각 근사

스크린 중앙에서 무늬까지의 거리 $y_m$을 구하자. 기하학에서:

$$\tan\theta = \frac{y_m}{D}$$

실제 실험에서는 $\theta$가 아주 작다(예: $d = 0.1$ mm, $\lambda = 550$ nm이면 $\theta_1 \approx 0.3^\circ$). 작은 각에서는:

$$\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \quad (\text{라디안})$$

밝은 무늬 조건 $\sin\theta = m\lambda/d$와 $\tan\theta = y_m/D$를 같다고 놓으면:

$$\frac{y_m}{D} = \frac{m\lambda}{d} \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{y_m = \frac{m\lambda D}{d}}$$

무늬 간격은 일정하다

이웃한 밝은 무늬 사이의 간격을 구하자:

$$\Delta y = y_{m+1} - y_m = \frac{(m+1)\lambda D}{d} - \frac{m\lambda D}{d} = \boxed{\frac{\lambda D}{d}}$$

$m$이 사라졌다 — 작은 각 영역에서는 무늬가 등간격 으로 늘어선다.

무늬 간격이 커지는 조건:

• 파장 $\lambda$가 길수록 (빨간빛 > 파란빛)
• 스크린이 멀수록 ($D$ 증가)
• 슬릿 간격 $d$가 좁을수록

파장(500 nm)은 눈에 안 보이게 작지만, $D/d$ 배율(수천 배)이 이를 밀리미터 크기의 무늬로 확대해 준다.

예제 2: 무늬 간격 계산

파장 $\lambda = 546$ nm의 초록빛, 슬릿 간격 $d = 0.12$ mm, 스크린 거리 $D = 55$ cm일 때 이웃한 밝은 무늬 사이 간격은?

단위를 SI로 통일한다: $\lambda = 546 \times 10^{-9}$ m, $d = 0.12 \times 10^{-3}$ m, $D = 0.55$ m.

$$\Delta y = \frac{\lambda D}{d} = \frac{(546 \times 10^{-9})(0.55)}{0.12 \times 10^{-3}}$$

분자는 $3.003 \times 10^{-7}$이므로:

$$\Delta y = \frac{3.003 \times 10^{-7}}{1.2 \times 10^{-4}} = 2.50 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = \boxed{2.5\ \mathrm{mm}}$$

밀리미터 단위의 무늬 — 자로도 잴 수 있는 크기다. 이 간격을 재면 거꾸로 빛의 파장을 측정 할 수 있다. 영이 한 일이 바로 이것이다.

35.3 간섭과 이중슬릿 세기

결맞음

두 파동이 뚜렷한 간섭 무늬를 만들려면, 만나는 점에서의 위상차가 시간에 따라 변하지 않아야 한다. 이런 두 파동을 결맞다(coherent) 고 한다.

• 이중슬릿의 두 파동: 하나의 빛에서 갈라져 나왔으므로 완전히 결맞음
• 두 개의 독립적인 백열전구: 수많은 원자가 제멋대로(~ns 단위) 빛을 내므로 위상차가 요동친다 → 결어긋남(incoherent), 무늬가 사라지고 균일하게 밝다
• 레이저(laser) : 원자들이 협동하여 빛을 내는 특별한 광원 — 그 자체로 결맞음

햇빛도 아주 가까운 두 점에서는 부분적으로 결맞다. 손톱에 햇빛을 비추면 보이는 얼룩덜룩한 반점(speckle)이 그 증거다.

세기를 구하자: 문제 설정

지금까지는 극대·극소의 위치 만 알았다. 이제 스크린 위 임의의 각 $\theta$에서 세기(intensity) $I(\theta)$를 구한다.

점 $P$에 도달한 두 파동의 전기장 성분을 다음과 같이 쓰자:

$$E_1 = E_0\sin\omega t, \qquad E_2 = E_0\sin(\omega t + \phi)$$

• 진폭 $E_0$는 같고 (두 슬릿이 동등하므로), 위상차 $\phi$는 경로차에서 생긴다
• $\phi$가 시간에 대해 일정하므로 두 파동은 결맞다

목표는 합성파 $E = E_1 + E_2$의 진폭이다. 삼각함수 덧셈 대신 위상자(phasor) 를 쓰면 쉽다.

위상자로 두 파동 더하기

위상자는 진폭 $E_0$ 크기의 벡터로, 각속도 $\omega$로 회전한다. 파동의 순간값은 위상자의 수직 성분이다.

• 두 위상자를 꼬리에 머리를 이어 붙이면, 합성파의 위상자를 얻는다
• 두 변의 길이가 $E_0$로 같은 이등변 삼각형 이므로, 합성 위상자는 사잇각을 정확히 반으로 가른다: $\beta = \phi/2$

밑변(합성 진폭)을 두 개의 직각삼각형으로 나누면:

$$E = 2\,(E_0\cos\beta) = 2E_0\cos\tfrac{1}{2}\phi$$

세기 공식: I = 4I₀ cos²(φ/2)

파동의 세기는 진폭의 제곱에 비례한다. 슬릿 하나만 열었을 때의 세기를 $I_0 \propto E_0^2$이라 하면:

$$\frac{I}{I_0} = \frac{E^2}{E_0^2} = \frac{4E_0^2\cos^2\frac{1}{2}\phi}{E_0^2}$$

$$\boxed{I = 4I_0\cos^2\tfrac{1}{2}\phi}$$

• $\phi = 0$: $I = 4I_0$ — 진폭이 2배이므로 세기는 4배
• $\phi = \pi$: $I = 0$ — 완전 상쇄

슬릿 두 개를 열었는데 세기가 2배가 아니라 4배가 되는 곳이 생긴다. 대신 0이 되는 곳도 생긴다 — 에너지가 사라진 것이 아니라 재분배 된 것이다.

위상차와 각도의 관계

이제 $\phi$를 스크린 위치 $\theta$와 연결하자. 경로차 1파장이 위상차 $2\pi$에 해당하므로, 비례 관계로:

$$\frac{\phi}{2\pi} = \frac{\Delta L}{\lambda}$$

$$\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta L$$

여기에 이중슬릿의 경로차 $\Delta L = d\sin\theta$를 대입하면:

$$\boxed{\phi = \frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}$$

이 식과 $I = 4I_0\cos^2(\phi/2)$를 합치면, 스크린 위 어느 점에서든 세기를 계산할 수 있다.

극대·극소 위치 다시 확인

세기 공식이 앞서 구한 무늬 위치를 재현하는지 확인하자.

극대 : $\cos^2\frac{\phi}{2} = 1$이려면

$$\tfrac{1}{2}\phi = m\pi \;\Rightarrow\; \frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta = m\pi \;\Rightarrow\; d\sin\theta = m\lambda \checkmark$$

극소 : $\cos^2\frac{\phi}{2} = 0$이려면

$$\tfrac{1}{2}\phi = (m + \tfrac{1}{2})\pi \;\Rightarrow\; d\sin\theta = (m + \tfrac{1}{2})\lambda \checkmark$$

경로차 논리로 얻었던 조건이 세기 공식 안에 그대로 들어 있다.

세기 분포 그래프

• 극대의 세기는 $4I_0$, 극소는 $0$
• $\cos^2$의 평균은 $\frac{1}{2}$이므로 평균 세기는 $2I_0$ — 결어긋난 두 광원의 균일한 밝기와 같다
• 간섭은 에너지를 만들지도 없애지도 않는다. 스크린 위에서 재배치 할 뿐이다

예제 3: 위상자로 세 파동 합성하기

한 점에 도달한 세 파동의 전기장이 다음과 같다. 합성파를 구하라.

$$E_1 = E_0\sin\omega t,\quad E_2 = E_0\sin(\omega t + 60^\circ),\quad E_3 = E_0\sin(\omega t - 30^\circ)$$

$t = 0$에서 위상자들을 성분 분해한다. 수평 성분의 합:

$$\textstyle\sum E_h = E_0\left[\cos 0^\circ + \cos 60^\circ + \cos(-30^\circ)\right] = E_0(1 + 0.500 + 0.866) = 2.37 E_0$$

수직 성분의 합:

$$\textstyle\sum E_v = E_0\left[\sin 0^\circ + \sin 60^\circ + \sin(-30^\circ)\right] = E_0(0 + 0.866 - 0.500) = 0.37 E_0$$

합성 진폭과 위상각:

$$E_R = \sqrt{(2.37E_0)^2 + (0.37E_0)^2} = 2.4\,E_0, \qquad \beta = \tan^{-1}\frac{0.37}{2.37} \approx 8.8^\circ$$

따라서 $E(t) = 2.4\,E_0 \sin(\omega t + 8.8^\circ)$.

35.4 박막 간섭

기름막과 비눗방울의 색

젖은 도로 위 기름막, 비눗방울 표면 — 얇고 투명한 막이 무지개색을 띤다.

• 막의 두께가 가시광 파장(수백 nm)과 비슷할 때 나타난다
• 막의 앞면에서 반사된 빛 과 뒷면에서 반사된 빛 이 간섭한 결과다
• 두께에 따라 보강되는 색이 달라진다 → 두께가 변하는 곳마다 색이 변한다

박막 간섭의 구조

두께 $L$, 굴절률 $n_2$인 막에 빛이 거의 수직으로 입사한다($\theta \approx 0$).

관찰자에게 오는 빛은 두 갈래다:

• $r_1$: 앞면(점 $a$)에서 바로 반사
• $r_2$: 막을 뚫고 들어가 뒷면(점 $b$)에서 반사된 후 다시 나옴 — 왕복 $2L$을 더 진행

$r_1$과 $r_2$의 위상차가 밝기를 결정한다. 그런데 경로차 $2L$만으로는 부족하다 — 반사 자체가 위상을 바꿀 수 있기 때문 이다.

반사에 의한 위상 변화

줄을 타고 가는 펄스가 굵기가 다른 줄의 연결점에서 반사될 때를 떠올리자. 무거운 줄에 부딪히면 펄스가 뒤집혀 돌아오고, 가벼운 줄이면 그대로 돌아온다. 빛도 똑같다.

암기법: "higher means half" — 더 높은 굴절률에 부딪히면 반파장. 굴절(투과)은 위상을 바꾸지 않는다.

위상차를 바꾸는 세 가지 방법

이 장에서 배운, 두 파동의 위상차가 달라지는 세 가지 경로를 정리하자.

1. 반사 — 낮→높 반사마다 $0.5\lambda$
2. 경로차 — 서로 다른 거리를 진행 ($\Delta L$)
3. 매질 — 굴절률이 다른 물질 통과 (파장이 $\lambda/n$으로 변함)

박막 간섭에는 이 세 가지가 모두 등장한다:

• $r_1$과 $r_2$의 반사 조건이 다르고
• $r_2$는 $2L$을 더 가며
• 그 $2L$은 굴절률 $n_2$인 막 내부 의 거리다 → 파장 $\lambda_{n2} = \lambda/n_2$로 세어야 한다

공기 중 박막: 반사 위상부터 정리

공기($n_1 = 1$) 속의 막($n_2 > 1$), 뒤도 공기($n_3 = 1$)인 경우를 보자. 비눗방울이 정확히 이 상황이다.

반사만으로 두 파동은 이미 반파장 어긋나 있다. 따라서:

• 밝으려면 : 경로차 $2L$이 추가로 반파장의 홀수배를 만들어 총 위상차가 정수 파장이 되어야 한다
• 어두우려면 : $2L$이 파장의 정수배여서 반파장 어긋남이 그대로 남아야 한다

공기 중 박막: 조건식 유도

막 내부의 파장은 $\lambda_{n2} = \lambda/n_2$이다.

보강 (밝은 막) — $2L$이 막 내부 파장의 반홀수배:

$$2L = \frac{\text{홀수}}{2}\times\lambda_{n2} = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{n_2}$$

$$\boxed{2L = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{n_2}, \qquad m = 0, 1, 2, \dots \quad (\text{밝음, 공기 중 막})}$$

상쇄 (어두운 막) — $2L$이 막 내부 파장의 정수배:

$$\boxed{2L = m\,\frac{\lambda}{n_2}, \qquad m = 0, 1, 2, \dots \quad (\text{어둠, 공기 중 막})}$$

경로차가 정수 파장인데 어둡다 — 반사 위상 변화 때문에 직관과 반대다.

주의: 공식의 역할이 뒤바뀔 수 있다

위 두 식은 "공기 중의 막"($n_2$가 양옆보다 클 때)에만 그대로 쓸 수 있다. 굴절률 조합이 다르면 반사 위상 변화가 달라져 공식의 역할이 서로 바뀐다.

문제를 풀 때는 공식 암기가 아니라, 두 반사 각각의 위상 변화를 표로 정리 하는 것부터 시작해야 한다.

아주 얇은 막은 항상 어둡다

막이 파장보다 훨씬 얇으면($L < 0.1\lambda$) 경로차 $2L$은 무시할 수 있다. 남는 것은 반사 위상 변화뿐:

• 공기 중 막이라면 $r_1$과 $r_2$는 반사만으로 정확히 반파장 어긋남 → 모든 파장에서 상쇄
• 이 경우가 어두움 조건의 $m = 0$에 해당한다

중력 때문에 비눗물이 아래로 흘러내리면 막의 위쪽이 극도로 얇아진다. 그래서 터지기 직전의 비눗방울 꼭대기는 색이 아니라 검게 보인다. 다음에 비눗방울을 불면 확인해 보자.

예제 4: 물막이 가장 밝게 반사하는 파장

공기 중에 떠 있는 두께 $L = 320$ nm, 굴절률 $n_2 = 1.33$의 물막에 백색광(400~690 nm)이 수직 입사한다. 관찰자에게 가장 밝게 보이는 파장은?

공기 중 막이므로 보강 조건은 $2L = (m+\frac{1}{2})\lambda/n_2$. 이를 $\lambda$에 대해 풀면:

$$\lambda = \frac{2 n_2 L}{m + \frac{1}{2}} = \frac{(2)(1.33)(320\ \mathrm{nm})}{m + \frac{1}{2}} = \frac{851\ \mathrm{nm}}{m + \frac{1}{2}}$$

$m$ 값을 하나씩 넣어 본다:

• $m = 0$: $\lambda = 1702$ nm — 적외선 (안 보임)
• $m = 1$: $\lambda = 567$ nm — 가시광! 황록색
• $m = 2$: $\lambda = 340$ nm — 자외선 (안 보임)

$$\boxed{\lambda = 567\ \mathrm{nm}}$$

예제 5: 렌즈의 반사 방지 코팅

카메라 렌즈(유리, $n_3 = 1.50$)에 MgF₂($n_2 = 1.38$) 막을 입혀 $\lambda = 550$ nm(가시광 중심) 반사를 없애려 한다. 최소 코팅 두께는?

이번에는 $1.00 < 1.38 < 1.50$: 앞면·뒷면 둘 다 낮→높 반사라 둘 다 $0.5\lambda$ 이동 → 반사 위상차는 0. 상쇄시키려면 경로차가 일을 해야 한다:

$$2L = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{n_2} \qquad (\text{상쇄 조건이 된다!})$$

최소 두께는 $m = 0$일 때:

$$L = \frac{\lambda}{4n_2} = \frac{550\ \mathrm{nm}}{(4)(1.38)} = \boxed{99.6\ \mathrm{nm} \approx 100\ \mathrm{nm}}$$

안경·카메라 렌즈의 보랏빛 반사가 바로 이 코팅이다. 반사가 없어진 에너지는 렌즈 안으로 투과 된다.

구조색: 몰포 나비와 위조 방지 잉크

남미의 몰포(Morpho) 나비 날개는 색소가 아니라 날개 표면의 얇은 층상 구조가 만드는 박막 간섭 으로 파란빛을 낸다.

• 보는 각도가 바뀌면 경로차가 바뀌어 색이 변한다 — 무지갯빛(iridescence), 구조색
• 지폐의 색변환 잉크도 같은 원리: Cr/MgF₂/Al 다층 박막 조각이 들어 있어 기울이면 색이 변한다
• 복사기는 한 각도의 색만 복제할 수 있으므로 위조가 어렵다

35.5 마이컬슨 간섭계

간섭으로 길이를 재는 장치

간섭계(interferometer) 는 간섭 무늬를 이용해 길이를 극도로 정밀하게 재는 장치다. 1881년 마이컬슨(A. A. Michelson)이 고안했다.

• 빔 분할기(beam splitter) 가 빛을 절반은 투과, 절반은 반사시켜 둘로 나눈다
• 두 빛은 서로 다른 팔을 왕복한 뒤 다시 합쳐져 망원경으로 들어간다
• 경로차 $2d_2 - 2d_1$에 따라 간섭 무늬가 나타난다

무늬 이동으로 길이를 잰다

거울 이동 : 거울 $M_2$를 $\frac{\lambda}{2}$만큼 옮기면 경로차가 $\lambda$만큼 변하고, 무늬가 정확히 1개 이동한다. 무늬 이동 개수를 세면 거리를 $\lambda$ 단위(~수백 nm!)로 잴 수 있다.

물질 삽입 : 한쪽 팔에 두께 $L$, 굴절률 $n$인 얇은 물질을 넣으면, 왕복 $2L$ 구간의 파장 개수가 달라진다:

$$N_m - N_a = \frac{2L n}{\lambda} - \frac{2L}{\lambda} = \boxed{\frac{2L}{\lambda}(n-1)}$$

위상 변화 1파장마다 무늬가 1개씩 이동하므로, 무늬 이동을 세면 $L$이나 $n$을 구할 수 있다.

빛의 파장이 길이의 표준이 되다

마이컬슨은 이 장치로 당시 파리에 보관된 표준 미터 원기 의 길이를 카드뮴 빛의 파장으로 측정했다:

$$1\ \mathrm{m} = 1\,553\,163.5\ \text{파장}$$

• 이 정밀 측정으로 마이컬슨은 1907년 노벨 물리학상을 받았다
• 이후 미터의 정의 자체가 금속 막대에서 빛 기준으로 바뀌는 길을 열었다 (현재는 광속으로 정의)

인공물이 아닌 자연 상수 로 단위를 정의하게 된 출발점이다.

LIGO: 마이컬슨 간섭계로 중력파를 듣다

무거운 두 천체가 나선을 그리며 합쳐지면 시공간의 출렁임, 중력파(gravitational wave) 가 퍼져 나온다 (아인슈타인 1916년 예측).

• LIGO는 팔 길이 4 km 짜리 거대한 마이컬슨 간섭계다 (미국 2곳)
• 중력파가 지나가면 한 팔은 늘고 다른 팔은 줄며 — 그 변화량은 양성자 반지름의 약 $1/200$
• 이 미세한 경로차 변화가 간섭 무늬(출력 광량)의 변화로 나타난다

2015년 9월, 13억 광년 밖 블랙홀 쌍(질량 29·36 $M_\odot$)의 합병이 첫 검출되었고, 2017년 노벨 물리학상으로 이어졌다. 이 장에서 배운 간섭계가 우주를 보는 새로운 눈이 된 것이다.

Review & Summary

핵심 개념

• 하위헌스 원리 : 파면의 모든 점은 잔파의 점광원 — 굴절 법칙 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$가 유도된다
• 매질 속 파장 : $\lambda_n = \lambda/n$ (진동수는 불변) → 굴절률이 다른 경로는 위상차 $\frac{L}{\lambda}(n_2-n_1)$을 만든다
• 영의 이중슬릿 : 경로차 $\Delta L = d\sin\theta$가 무늬를 결정한다
• 세기 : 위상자 합으로 $I = 4I_0\cos^2(\phi/2)$, $\phi = \frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta$
• 박막 간섭 : 반사 위상 변화(낮→높이면 $0.5\lambda$) + 막 내부 경로차 $2L$ (파장 $\lambda/n_2$)
• 마이컬슨 간섭계 : 무늬 이동 개수로 길이를 파장 단위로 측정

핵심 공식

기억할 것:

• 반사 위상 규칙 "higher means half" — 낮→높 반사만 $0.5\lambda$
• 박막 공식은 굴절률 조합에 따라 밝음·어둠의 역할이 바뀐다 — 반드시 반사 표부터
• 간섭은 에너지를 재분배할 뿐, 만들거나 없애지 않는다 (평균은 $2I_0$)