30장: 유도와 인덕턴스

Induction and Inductance

지난 장과 이번 장

29장에서 우리는 전류가 자기장을 만든다 는 사실을 배웠다.

$$\text{전류 } i \;\longrightarrow\; \text{자기장 } \vec{B}$$

그렇다면 거꾸로는 어떨까? 자기장으로 전류를 만들 수는 없을까?

• 답: 가능하다. 단, 자기장이 변해야 한다
• 변하는 자기장이 전기장을 만들고, 이 전기장이 전류를 몰고 간다
• 이 현상을 유도(induction) 라 하며, 지배하는 법칙이 패러데이 유도 법칙(Faraday's law of induction) 이다

이번 장은 전자기학 전체에서 가장 중요한 전환점 중 하나이다.

유도는 일상 속에 있다

• 발전소의 발전기 : 코일을 자기장 속에서 돌려 전기를 만든다 — 우리가 쓰는 전기의 거의 전부
• 인덕션 레인지 : 변하는 자기장이 냄비 바닥에 전류를 유도해 가열한다
• 무선 충전 : 충전 패드의 코일이 스마트폰 속 코일에 전류를 유도한다
• 교통카드(T-money) : 단말기의 변하는 자기장이 카드 속 코일에 전력을 공급한다
• 전기 기타 픽업 : 진동하는 금속 줄이 코일의 자속을 바꿔 신호를 만든다

이번 장의 핵심 세 가지

1. 패러데이 법칙(Faraday's law) : 고리를 지나는 자속이 변하면 기전력이 유도된다 $$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$
2. 렌츠 법칙(Lenz's law) : 유도 전류는 언제나 자속의 변화를 방해하는 방향 으로 흐른다
3. 인덕턴스(inductance) : 코일은 전류 변화를 거스르는 소자이며, 자기장에 에너지를 저장한다 $$U_B = \tfrac{1}{2}Li^2$$

30.1 패러데이 법칙과 렌츠 법칙

첫 번째 실험: 자석과 고리

전지 없이 도선 고리와 검류계만 연결한다. 그리고 막대자석을 고리에 가까이 가져가 본다.

• 자석이 움직이는 동안에만 전류가 흐른다
• 자석이 멈추면 전류도 사라진다

전지가 없는데 전류가 생겼다! 이 전류를 유도 전류(induced current) 라 한다.

첫 번째 실험의 관찰 정리

실험을 반복하면 다음 규칙을 발견한다.

1. 전류는 자석과 고리 사이에 상대 운동 이 있을 때만 흐른다 (어느 쪽이 움직여도 좋다)
2. 더 빨리 움직이면 전류가 더 세다
3. N극을 가까이 할 때와 멀리 할 때 전류의 방향이 반대다. S극이면 각각 또 반대다

• 전류를 만든 단위 전하당 일 → 유도 기전력(induced emf)
• 전류와 기전력을 만드는 이 과정 전체 → 유도(induction)

두 번째 실험: 두 개의 고리

이번에는 자석 없이, 두 도선 고리를 가까이 놓는다. 오른쪽 고리에는 전지와 스위치, 왼쪽 고리에는 검류계만 연결한다.

• 스위치를 닫는 순간 : 왼쪽 고리에 잠깐 전류가 흐른다
• 스위치를 여는 순간 : 반대 방향으로 잠깐 전류가 흐른다
• 전류가 일정하게 흐르는 동안 : 아무리 세도 유도 전류는 없다

두 실험의 공통점은 무엇일까? 자석의 운동도, 스위치 조작도 결국 무언가를 변화시킨다. 패러데이는 그 "무언가"를 알아냈다.

패러데이의 통찰

패러데이 유도 법칙을 정성적으로 말하면:

고리를 통과하는 자기력선의 수가 변할 때 고리에 기전력이 유도된다.

• 중요한 것은 자기력선의 개수 자체가 아니라 그 변화율 이다
• 자석이 다가오면 고리를 뚫는 자기력선 수가 늘어난다 → 유도
• 스위치를 닫으면 오른쪽 고리의 자기장이 커지면서 왼쪽 고리를 뚫는 자기력선이 늘어난다 → 유도

이를 정량화하려면 "고리를 통과하는 자기장의 양"을 재는 물리량이 필요하다. 그것이 자속 이다.

자속의 정의

23장에서 전기 선속 $\Phi_E = \int \vec{E}\cdot d\vec{A}$ 를 정의했던 것과 똑같이, 넓이 $A$를 둘러싸는 고리를 지나는 자속(magnetic flux) 을 정의한다.

$$\boxed{\Phi_B = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}}$$

$d\vec{A}$는 미소 넓이 $dA$에 수직인 벡터이다. 특수한 경우로, $\vec{B}$가 고리 면에 수직이고 균일하면:

$$\Phi_B = BA \qquad (\vec{B} \perp \text{면}, \; \vec{B} \text{ 균일})$$

단위는 웨버(weber, Wb) :

$$1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T\cdot m^2}$$

패러데이 법칙

자속을 이용해 패러데이 법칙을 정량적으로 쓰면:

$$\boxed{\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}} \qquad \text{(패러데이 법칙)}$$

• 유도 기전력의 크기는 자속의 시간 변화율 과 같다
• 음(−) 부호는 기전력이 변화를 거스른다 는 뜻이다 (렌츠 법칙, 잠시 후)

같은 자속이 모두 지나가는 $N$회 감긴 촘촘한 코일이면, 각 감김의 기전력이 더해져서:

$$\boxed{\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi_B}{dt}} \qquad (N\text{회 감긴 코일})$$

자속을 바꾸는 세 가지 방법

$\Phi_B = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}$ 를 바꿀 수 있는 길은 세 가지뿐이다.

1. 자기장의 크기 $B$를 바꾼다
2. 자기장 속에 있는 고리의 면적 을 바꾼다 (넣거나 빼거나, 늘리거나 줄이거나)
3. $\vec{B}$와 고리 면 사이의 각도 를 바꾼다 (회전 — 발전기의 원리)

예제 1: 솔레노이드 속 코일 (설정)

긴 솔레노이드 S는 단위 길이당 $n = 220$회/cm로 감겨 있고 전류 $i = 1.5$ A가 흐른다. 그 중심에 지름 $d = 2.1$ cm, $N = 130$회 감긴 코일 C를 놓았다. 솔레노이드 전류를 25 ms 동안 일정한 비율로 0까지 줄이면, 코일 C에 유도되는 기전력은?

계획 :

• 솔레노이드 내부 자기장(29장): $B = \mu_0 i n$
• 코일 C를 지나는 자속: $\Phi_B = BA$ ($A$는 코일 C의 단면적)
• 전류가 줄면 $B$가 줄고 $\Phi_B$가 줄어든다 → 패러데이 법칙으로 $\mathcal{E} = N\,|d\Phi_B/dt|$

단위 변환: $n = 220$회/cm $= 22\,000$회/m, $A = \pi d^2/4 = 3.46\times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$

예제 1: 솔레노이드 속 코일 (풀이)

처음 자속(감김 1회당):

$$\Phi_{B,i} = BA = (\mu_0 i n)A = (4\pi\times 10^{-7})(1.5)(22\,000)(3.46\times 10^{-4}) = 1.44\times 10^{-5}\ \mathrm{Wb}$$

전류가 일정한 비율로 줄어드므로 자속도 일정한 비율로 줄어든다. 나중 자속은 0이므로:

$$\left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = \frac{|0 - 1.44\times 10^{-5}|}{25\times 10^{-3}} = 5.76\times 10^{-4}\ \mathrm{Wb/s}$$

$N = 130$회 코일의 유도 기전력:

$$\mathcal{E} = N\left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = (130)(5.76\times 10^{-4}) \approx \boxed{75\ \mathrm{mV}}$$

렌츠 법칙

패러데이 법칙의 음(−) 부호, 즉 유도 전류의 방향 을 정해 주는 규칙이다.

유도 전류는, 그 전류가 만드는 자기장 이 자속의 변화를 방해하는(oppose) 방향으로 흐른다.

핵심 단어는 "방해" 이다. 유도 전류는 변화를 막으려 하지만, 완전히 막지는 못한다.

렌츠 법칙을 읽는 두 가지 방법

관점 1 — 극 운동을 방해 : 유도 전류가 흐르는 고리는 하나의 자기 쌍극자(작은 자석)가 된다.

• N극이 다가오면 → 고리의 앞면이 N극 이 되어 밀어낸다
• N극이 멀어지면 → 고리의 앞면이 S극 이 되어 붙잡는다

관점 2 — 자속 변화를 방해 : 유도 전류의 자기장 $\vec{B}_{\text{ind}}$가

• 자속이 늘면 → $\vec{B}_{\text{ind}}$는 외부 자기장과 반대 방향 (증가를 상쇄)
• 자속이 줄면 → $\vec{B}_{\text{ind}}$는 외부 자기장과 같은 방향 (감소를 보충)

주의: $\vec{B}_{\text{ind}}$가 항상 $\vec{B}$와 반대인 것이 아니라, 항상 변화 $d\Phi_B/dt$와 반대다.

렌츠 법칙은 에너지 보존이다

만약 유도 전류가 변화를 돕는 방향으로 흐른다면 어떻게 될까?

• 자석을 살짝 밀면 → 고리가 자석을 끌어당김 → 자석이 가속 → 자속이 더 빨리 변함 → 전류가 더 세짐 → 더 세게 끌어당김 → …
• 손대지 않아도 운동 에너지와 전기 에너지가 무한히 생기는 영구기관 이 된다!

실제로는 반대다. 자석을 밀어 넣으려면 밀어내는 힘을 거슬러 일 을 해야 하고, 그 일이 유도 전류의 전기 에너지(그리고 저항의 열)로 바뀐다.

렌츠 법칙은 에너지 보존 법칙 이 유도 현상에서 드러나는 모습이다.

30.2 유도와 에너지 전달

자기장에서 고리 끌어내기

렌츠 법칙에 따르면 자석과 고리의 상대 운동에는 항상 저항하는 힘 이 생기고, 이를 거슬러 일을 해야 한다. 그 일은 어디로 갈까? 계산하기 쉬운 상황으로 확인해 보자.

• 폭(높이) $L$인 직사각형 고리(저항 $R$)가 균일한 자기장 $\vec{B}$(지면 안쪽) 영역에 걸쳐 있다
• 고리를 일정한 속도 $\vec{v}$로 오른쪽으로 당겨 장 밖으로 꺼낸다

움직이는 고리의 유도 기전력

자기장 속에 남아 있는 고리 부분의 가로 길이를 $x$라 하면, 장 속 면적은 $Lx$이므로:

$$\Phi_B = BA = BLx$$

고리를 당기면 $x$가 줄어 자속이 감소한다. 패러데이 법칙에서 (크기만 취하면):

$$\mathcal{E} = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = BL\left|\frac{dx}{dt}\right| = \boxed{BLv}$$

유도 전류의 크기는:

$$i = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{BLv}{R}$$

방향: 자속(지면 안쪽)이 줄어드므로, 렌츠 법칙에 의해 유도 전류는 지면 안쪽 자기장을 만드는 시계 방향 이다.

고리에 작용하는 자기력

자기장 속에서 전류가 흐르는 도선은 힘을 받는다(28장):

$$\vec{F}_d = i\vec{L}\times\vec{B}$$

장 속에 있는 세 변이 힘 $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$을 받는데:

• 위·아래 변의 $\vec{F}_2$와 $\vec{F}_3$은 크기가 같고 방향이 반대 → 상쇄
• 왼쪽 변의 $\vec{F}_1$만 남고, 방향은 당기는 반대쪽(왼쪽) — 렌츠 법칙 그대로!

$$F_1 = iLB\sin 90^\circ = iLB = \left(\frac{BLv}{R}\right)LB = \boxed{\frac{B^2L^2v}{R}}$$

일정한 속도로 당기려면 정확히 이만한 힘 $F = F_1$을 계속 가해야 한다.

한 일은 모두 열이 된다

고리를 당기며 일하는 일률은 $P = Fv$이므로:

$$P_{\text{당김}} = Fv = \frac{B^2L^2v^2}{R}$$

한편 고리(저항 $R$)에서 열이 발생하는 일률은 $P = i^2R$이므로:

$$P_{\text{열}} = i^2R = \left(\frac{BLv}{R}\right)^2 R = \frac{B^2L^2v^2}{R}$$

$$\boxed{P_{\text{당김}} = P_{\text{열}}}$$

내가 고리에 해 준 역학적 일 이 정확히 같은 비율로 고리의 열에너지 로 바뀐다. 유도는 에너지를 전달하는 통로이다.

예제 2: 레일 위의 막대

간격 $L = 15.0$ cm인 두 평행 레일 위를 금속 막대가 $v = 55.0$ cm/s로 미끄러진다. 레일이 이루는 면에 수직인 자기장 $B = 0.350$ T가 있고, 회로의 저항은 $R = 18.0\ \Omega$이다.

(a) 유도 기전력:

$$\mathcal{E} = BLv = (0.350)(0.150)(0.550) = 2.89\times 10^{-2}\ \mathrm{V} \approx 28.9\ \mathrm{mV}$$

(b) 유도 전류:

$$i = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{2.89\times 10^{-2}}{18.0} = 1.60\times 10^{-3}\ \mathrm{A} \approx 1.6\ \mathrm{mA}$$

(c) 열이 발생하는 비율:

$$P = i^2R = (1.60\times 10^{-3})^2(18.0) \approx 4.6\times 10^{-5}\ \mathrm{W} = 46\ \mathrm{\mu W}$$

이는 막대를 등속으로 미는 데 드는 역학적 일률 $Fv$와 정확히 같다.

맴돌이 전류

고리 대신 통짜 금속판 을 자기장에서 꺼내면 어떻게 될까?

• 전도 전자들이 한 줄로 흐르지 못하고 물의 소용돌이처럼 판 안에서 빙빙 돈다 → 맴돌이 전류(eddy current)
• 효과는 같다: 운동을 방해하는 힘 이 생기고, 역학적 에너지가 열 로 바뀐다
• 자기장 속에서 진자처럼 흔들리는 금속판은 몇 번 만에 멈춰 버린다 (자기 제동)

응용: 고속 열차·놀이기구의 자기 브레이크, 전자저울의 진동 감쇠, 고철 분리기.

주의 사례: MRI 검사 때 모니터 케이블이 피부에 두 점 이상 닿아 고리를 만들면, 변하는 자기장이 그 고리에 전류를 유도해 화상을 입힌 사고가 있었다.

인덕션 레인지: 맴돌이 전류로 요리하기

인덕션 레인지 는 유도 가열(induction heating)의 대표적 예다.

• 상판 아래 코일에 고주파 교류를 흘린다 → 빠르게 변하는 자기장 발생
• 이 자기장이 냄비 바닥에 맴돌이 전류 를 유도한다
• 냄비 자체의 저항에서 $P = i^2R$의 열이 발생 → 냄비만 뜨거워진다

사진: 인덕션 위에 신문지를 깔고 냄비를 올려도 물이 끓는다. 열은 상판이 아니라 냄비 바닥에서 생기기 때문이다. 같은 원리로 제철소의 유도로(induction furnace) 는 금속을 통째로 녹인다.

30.3 유도 전기장

도선이 없어도 일어나는 일

반지름 $r$인 구리 고리를 균일한 자기장 속에 놓고 $B$를 일정한 비율로 키우면, 고리에 유도 전류가 흐른다.

그런데 전류가 흐른다는 것은 전자를 미는 전기장이 고리를 따라 존재 한다는 뜻이다. 이 전기장은 변하는 자속이 만든 것이다.

변하는 자기장은 전기장 을 만든다.

• 이렇게 만들어진 유도 전기장(induced electric field) 은 정지 전하가 만드는 전기장과 똑같이 실재한다: 전하 $q_0$에 힘 $q_0\vec{E}$를 가한다
• 놀라운 점: 구리 고리가 없어도, 심지어 진공이라도, 전기장은 그 자리에 생긴다

유도 전기장의 모습

원형 대칭에 의해, 유도 전기장의 전기력선은 자기장 영역을 중심으로 한 동심원 을 이룬다.

• $B$가 증가 하는 동안: 그림과 같은 방향의 $\vec{E}$
• $B$가 일정 하면: 유도 전기장 없음
• $B$가 감소 하면: 반대 방향의 동심원

기전력을 전기장으로 다시 쓰기

전하 $q_0$가 반지름 $r$인 원형 경로를 한 바퀴 돌 때, 유도 전기장이 해 준 일은 두 가지로 쓸 수 있다.

기전력의 정의(단위 전하당 일)로부터: $W = \mathcal{E}q_0$

힘 $q_0E$가 거리 $2\pi r$에 걸쳐 한 일로부터:

$$W = \oint \vec{F}\cdot d\vec{s} = (q_0E)(2\pi r)$$

둘을 같게 놓고 $q_0$를 소거하면 $\mathcal{E} = 2\pi rE$. 일반적인(원이 아닌) 닫힌 경로에서는:

$$\boxed{\mathcal{E} = \oint \vec{E}\cdot d\vec{s}}$$

기전력이란 결국 닫힌 경로를 따라 유도 전기장을 적분한 것 이다.

패러데이 법칙의 일반형

$\mathcal{E} = \oint \vec{E}\cdot d\vec{s}$ 를 패러데이 법칙 $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$ 에 대입하면:

$$\boxed{\oint \vec{E}\cdot d\vec{s} = -\frac{d\Phi_B}{dt}} \qquad \text{(패러데이 법칙의 일반형)}$$

• 좌변: 닫힌 경로를 따라 도는 전기장의 순환
• 우변: 그 경로가 둘러싸는 자속의 변화율
• 도선이 있든 없든, 모든 닫힌 경로 에 대해 성립한다

이 식은 나중에 배울 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 네 개 중 하나가 된다.

유도 전기장의 크기 구하기

반지름 $R$인 원기둥 영역에만 자기장이 있고 $dB/dt$가 일정하다고 하자. 대칭성에 의해 $E$는 반지름 $r$인 원 위에서 크기가 같고 접선 방향이다. 방향(부호)은 렌츠 법칙에 맡기고 크기만 계산하면:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{s} = E(2\pi r)$$

내부 ($r \le R$): 경로가 둘러싸는 자속은 $\Phi_B = B(\pi r^2)$이므로

$$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt} \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{E = \frac{r}{2}\frac{dB}{dt}} \quad (E \propto r)$$

외부 ($r \ge R$): 자속은 $\Phi_B = B(\pi R^2)$뿐이므로

$$E(2\pi r) = \pi R^2 \frac{dB}{dt} \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{E = \frac{R^2}{2r}\frac{dB}{dt}} \quad (E \propto 1/r)$$

자기장이 없는 바깥에도 유도 전기장은 존재한다 — 변압기가 가능한 이유다.

유도 전기장에는 전위가 없다

정전기장에서는 전위 $V$를 정의할 수 있었다(24장). 유도 전기장에서는 불가능하다.

• 전기력선이 시작(＋)과 끝(−)이 있는 정전기장과 달리, 유도 전기장의 전기력선은 닫힌 원 이다
• 전하가 닫힌 원을 한 바퀴 돌면 유도 전기장이 알짜 일을 한다:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{s} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \neq 0$$

• 정전기장이라면 같은 적분이 항상 0이다: 제자리로 돌아오면 전위도 제자리여야 하므로

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0 \qquad \text{(정전기장)}$$

같은 점의 전위가 한 바퀴마다 달라질 수는 없다. 따라서 전위는 정전기장에서만 의미가 있다.

30.4 인덕터와 인덕턴스

인덕터: 자기장을 만드는 소자

25장에서 축전기(capacitor) 는 원하는 전기장을 만드는 소자였다. 대응되는 짝으로, 인덕터(inductor) 는 원하는 자기장을 만드는 소자이며 대표적인 형태가 솔레노이드 이다.

인덕터의 $N$개 감김에 전류 $i$를 흘리면 각 감김에 자속 $\Phi_B$가 생긴다. 인덕턴스(inductance) 를 다음과 같이 정의한다.

$$\boxed{L = \frac{N\Phi_B}{i}} \qquad \text{(인덕턴스의 정의)}$$

• $N\Phi_B$: 자속 결합(magnetic flux linkage) — 감김 수 × 감김당 자속
• $L$은 단위 전류당 자속 결합, 즉 "전류를 자속으로 바꾸는 효율"

단위는 헨리(henry, H) : $1\ \mathrm{H} = 1\ \mathrm{T\cdot m^2/A} = 1\ \mathrm{Wb/A}$

솔레노이드의 인덕턴스 유도

단면적 $A$, 단위 길이당 $n$회 감긴 긴 솔레노이드의 가운데 부분, 길이 $l$을 생각하자.

길이 $l$ 속의 감김 수는 $N = nl$이므로 자속 결합은:

$$N\Phi_B = (nl)(BA)$$

솔레노이드의 인덕턴스 (계속)

솔레노이드 내부 자기장은 $B = \mu_0 i n$ (29장)이므로, 정의에 대입하면:

$$L = \frac{N\Phi_B}{i} = \frac{(nl)(BA)}{i} = \frac{(nl)(\mu_0 i n)(A)}{i} = \boxed{\mu_0 n^2 lA}$$

단위 길이당 인덕턴스로 쓰면:

$$\boxed{\frac{L}{l} = \mu_0 n^2 A} \qquad \text{(긴 솔레노이드)}$$

• 전류 $i$가 약분되어 사라졌다: 인덕턴스는 축전기의 전기용량처럼 기하학적 구조만으로 결정된다
• $n^2$인 이유: $n$을 3배로 하면 감김 수 $N$도 3배, 감김당 자속 $\Phi_B = \mu_0 inA$도 3배 → 총 9배
• $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ — 투자율 상수를 헨리/미터로 쓸 수 있다

30.5 자체 유도

자기 자신에게 거는 유도

코일에 흐르는 전류가 변하면, 그 코일 자신을 지나는 자속 도 변한다. 그러면 패러데이 법칙에 따라 그 코일 자신에 기전력이 유도된다. 이를 자체 유도(self-induction) 라 한다.

인덕턴스의 정의에서 $N\Phi_B = Li$. 패러데이 법칙을 자속 결합으로 쓰면:

$$\mathcal{E}_L = -\frac{d(N\Phi_B)}{dt} = -\frac{d(Li)}{dt}$$

$L$은 상수이므로:

$$\boxed{\mathcal{E}_L = -L\frac{di}{dt}} \qquad \text{(자체 유도 기전력)}$$

전류의 크기 가 아니라 변화율 이 기전력을 결정한다.

자체 유도 기전력의 방향

방향은 렌츠 법칙으로 정해진다: $\mathcal{E}_L$은 언제나 전류의 변화 를 방해한다.

• 인덕터는 "전류의 관성"처럼 행동한다: 현재 전류를 유지하려 한다
• 참고: 변하는 자속 속에서는 전위를 정의할 수 없으므로, 인덕터 내부 의 전위는 말할 수 없다. 하지만 (이상적인) 인덕터 양단 의 전위차는 $|V_L| = |\mathcal{E}_L| = L\,|di/dt|$로 쓸 수 있다

30.6 RL 회로

스위치를 닫는 순간과 오랜 후

전지 $\mathcal{E}$, 저항 $R$, 인덕터 $L$을 직렬로 연결하고 스위치를 닫는다.

• 스위치를 닫는 순간 : 전류가 갑자기 늘려고 하면 $\mathcal{E}_L$이 반대로 버틴다 → 인덕터는 끊어진 도선 처럼 행동 ($i = 0$)
• 오랜 후 : 전류가 일정해지면 $di/dt = 0$, $\mathcal{E}_L = 0$ → 인덕터는 그냥 도선 처럼 행동 ($i = \mathcal{E}/R$)

그 사이는? 미분방정식을 풀어야 한다.

RL 회로의 고리 방정식

전류 $i$의 방향을 따라 회로를 한 바퀴 돌며 전위 변화를 더한다(27장 고리 법칙).

• 저항: 전류 방향으로 지나며 전위 강하 $-iR$
• 인덕터: 전류가 증가 중이면 $\mathcal{E}_L$이 이를 방해하므로 전위 변화 $-L\,di/dt$
• 전지: $+\mathcal{E}$

$$-iR - L\frac{di}{dt} + \mathcal{E} = 0$$

정리하면:

$$\boxed{L\frac{di}{dt} + Ri = \mathcal{E}} \qquad (RL \text{ 회로})$$

초기 조건은 $i(0) = 0$. 27장 RC 회로의 $R\,dq/dt + q/C = \mathcal{E}$와 똑같은 꼴이다 ($q \to i$, $R \to L$, $1/C \to R$).

미분방정식 풀기

변수 분리로 처음부터 풀어 보자. $\dfrac{di}{dt} = \dfrac{\mathcal{E} - Ri}{L}$ 에서:

$$\frac{di}{\mathcal{E} - Ri} = \frac{dt}{L}$$

양변을 적분한다. 좌변은 $i' = 0 \to i$, 우변은 $t' = 0 \to t$:

$$\int_0^{i}\frac{di'}{\mathcal{E} - Ri'} = \int_0^{t}\frac{dt'}{L} \;\;\Rightarrow\;\; -\frac{1}{R}\ln\!\left(\frac{\mathcal{E} - Ri}{\mathcal{E}}\right) = \frac{t}{L}$$

로그를 풀면:

$$\ln\!\left(\frac{\mathcal{E} - Ri}{\mathcal{E}}\right) = -\frac{Rt}{L} \;\;\Rightarrow\;\; \mathcal{E} - Ri = \mathcal{E}\,e^{-Rt/L}$$

전류 상승의 해

$i$에 대해 정리하면:

$$\boxed{i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau_L}\right)} \qquad \text{(전류 상승)}$$

여기서 유도 시간 상수(inductive time constant) 는:

$$\boxed{\tau_L = \frac{L}{R}}$$

극한 확인:

• $t = 0$: $e^0 = 1$이므로 $i = 0$ ✓ (인덕터가 완전히 버팀)
• $t \to \infty$: $e^{-\infty} \to 0$이므로 $i \to \mathcal{E}/R$ ✓ (인덕터가 그냥 도선)
• $t = \tau_L$: $i = \dfrac{\mathcal{E}}{R}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\dfrac{\mathcal{E}}{R}$ — 최종값의 63%에 도달하는 시간

단위 확인: $1\ \mathrm{H/\Omega} = 1\ \mathrm{\dfrac{V\cdot s}{A}\cdot\dfrac{A}{V}} = 1$ s ✓

저항과 인덕터의 전위차

$$V_R = iR = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau_L}\right), \qquad V_L = L\frac{di}{dt} = \mathcal{E}\,e^{-t/\tau_L}$$

• $V_R$는 0에서 $\mathcal{E}$로 켜지고, $V_L$은 $\mathcal{E}$에서 0으로 꺼진다
• 언제나 $V_R + V_L = \mathcal{E}$ (고리 법칙)

전류의 감쇠

전류가 $i_0$까지 오른 상태에서 전지를 회로에서 빼면($\mathcal{E} = 0$):

$$L\frac{di}{dt} + Ri = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \frac{di}{i} = -\frac{R}{L}\,dt$$

적분하면 $\ln(i/i_0) = -t/\tau_L$, 즉:

$$\boxed{i(t) = i_0\,e^{-t/\tau_L}} \qquad \text{(전류 감쇠)}$$

• 전류는 곧바로 0이 되지 못하고 시간 상수 $\tau_L$로 서서히 죽는다 — 인덕터가 전류를 유지하려 하기 때문
• $t = \tau_L$에서 처음의 37%
• 주의: 큰 전류가 흐르는 인덕터 회로를 갑자기 끊으면 $di/dt$가 매우 커져 큰 기전력이 생긴다 → 스위치에 불꽃(아크) 이 튄다

예제 3: 전류가 절반에 이르는 시간

인덕턴스 $L = 53$ mH, 내부 저항 $R = 0.37\ \Omega$인 솔레노이드를 전지에 연결했다. 전류가 최종 평형값의 절반에 이르는 데 걸리는 시간은?

상승식 $i = \dfrac{\mathcal{E}}{R}(1 - e^{-t/\tau_L})$ 에서 $i = \dfrac{1}{2}\dfrac{\mathcal{E}}{R}$ 로 놓으면:

$$\frac{1}{2} = 1 - e^{-t/\tau_L} \;\;\Rightarrow\;\; e^{-t/\tau_L} = \frac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; t = \tau_L\ln 2$$

시간 상수를 계산하면:

$$t = \frac{L}{R}\ln 2 = \frac{53\times 10^{-3}}{0.37}\times 0.693 \approx \boxed{0.10\ \mathrm{s}}$$

전지 전압과 무관하게, 오직 $L/R$이 시간 척도를 정한다.

30.7 자기장에 저장된 에너지

에너지는 어디로 가는가

RL 회로의 고리 방정식 $\mathcal{E} = L\dfrac{di}{dt} + iR$ 의 양변에 $i$를 곱하면:

$$\mathcal{E}i = Li\frac{di}{dt} + i^2R$$

각 항의 의미를 읽어 보자.

• $\mathcal{E}i$ : 전지가 회로에 에너지를 공급하는 비율 (시간 $dt$당 전하 $dq = i\,dt$에 일 $\mathcal{E}\,dq$)
• $i^2R$ : 저항에서 열로 사라지는 비율
• $Li\dfrac{di}{dt}$ : 남은 몫 — 에너지 보존에 의해, 인덕터의 자기장에 저장되는 비율 이어야 한다

$$\frac{dU_B}{dt} = Li\frac{di}{dt}$$

자기 에너지 공식

$dU_B = Li\,di$ 를 전류가 0에서 $i$가 될 때까지 적분하면:

$$\int_0^{U_B}dU_B' = \int_0^{i}Li'\,di' \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{U_B = \tfrac{1}{2}Li^2} \qquad \text{(자기 에너지)}$$

축전기의 전기 에너지와 완벽하게 대응된다:

$$U_E = \frac{q^2}{2C} \;\;\leftrightarrow\;\; U_B = \frac{1}{2}Li^2$$

• 축전기는 전하 를 쌓아 전기장에, 인덕터는 전류 를 흘려 자기장에 에너지를 저장한다
• 예: $L = 53$ mH 코일에 $i = 34$ A가 흐르면 $U_B = \frac{1}{2}(0.053)(34)^2 \approx 31$ J

30.8 자기장의 에너지 밀도

단위 부피당 에너지

단면적 $A$인 긴 솔레노이드의 가운데 길이 $l$ 부분을 보자. 자기장은 내부에만 있고 균일하므로, 에너지는 부피 $Al$에 고르게 퍼져 있다.

$$u_B = \frac{U_B}{Al} = \frac{Li^2}{2Al} = \frac{L}{l}\cdot\frac{i^2}{2A}$$

솔레노이드의 $L/l = \mu_0 n^2 A$ 를 대입하면:

$$u_B = \mu_0 n^2 A\cdot\frac{i^2}{2A} = \tfrac{1}{2}\mu_0 n^2 i^2$$

여기에 $B = \mu_0 in$, 즉 $n i = B/\mu_0$ 를 대입하면:

$$\boxed{u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}} \qquad \text{(자기 에너지 밀도)}$$

솔레노이드로 유도했지만, 이 식은 모든 자기장에서 성립한다.

전기장과 자기장의 에너지 밀도

$$u_E = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2, \qquad u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

• 두 에너지 밀도 모두 장의 제곱 에 비례한다 — 에너지는 장 자체에 실려 있다
• 크기 감각: MRI의 $B = 1.5$ T → $u_B = \dfrac{(1.5)^2}{2(4\pi\times 10^{-7})} \approx 9.0\times 10^{5}\ \mathrm{J/m^3}$
• 지구 자기장 $B \approx 5\times 10^{-5}$ T → $u_B \approx 1.0\times 10^{-3}\ \mathrm{J/m^3}$ — 10억 배 차이

30.9 상호 유도

두 코일 사이의 유도

30.1절의 두 번째 실험으로 돌아가자. 두 코일이 가까이 있으면, 코일 1의 전류 $i_1$이 만드는 자속 일부가 코일 2를 지나간다.

자체 유도와 구분해 이를 상호 유도(mutual induction) 라 한다.

상호 인덕턴스

코일 1에 대한 코일 2의 상호 인덕턴스(mutual inductance) 를 자체 인덕턴스($L = N\Phi/i$)와 같은 꼴로 정의한다.

$$M_{21} = \frac{N_2\Phi_{21}}{i_1}$$

$\Phi_{21}$은 $i_1$이 코일 2의 감김 하나에 만드는 자속이다. 양변에 $i_1$을 곱하고 시간 미분하면:

$$M_{21}\frac{di_1}{dt} = N_2\frac{d\Phi_{21}}{dt}$$

우변은 패러데이 법칙에 의해 코일 2에 유도되는 기전력의 크기이므로:

$$\mathcal{E}_2 = -M_{21}\frac{di_1}{dt}$$

자체 유도의 $\mathcal{E} = -L\,di/dt$와 똑같은 구조다.

역할을 바꾸면

이번에는 코일 2에 전류 $i_2$를 흘리고 변화시키면, 코일 1에 기전력이 유도된다:

$$\mathcal{E}_1 = -M_{12}\frac{di_2}{dt}$$

놀랍게도 두 상수는 (증명은 생략하지만) 항상 같다:

$$M_{21} = M_{12} = M$$

따라서 최종적으로:

$$\boxed{\mathcal{E}_2 = -M\frac{di_1}{dt}, \qquad \mathcal{E}_1 = -M\frac{di_2}{dt}}$$

$M$의 단위도 헨리(H) 이다. 크기는 두 코일의 기하학적 배치(거리, 방향, 겹침)에 달려 있다.

예제 4: 자동차 점화 코일

자동차 엔진의 점화 장치는 상호 유도로 스파크 전압을 만든다. 1차 코일의 전류가 $i_1 = 6.0$ A에서 0까지 $\Delta t = 3.0$ ms 동안 일정하게 줄어들 때 2차 코일에 $|\mathcal{E}_2| = 30$ kV가 유도된다면, 두 코일의 상호 인덕턴스는?

전류 변화율의 크기:

$$\left|\frac{di_1}{dt}\right| = \frac{6.0\ \mathrm{A}}{3.0\times 10^{-3}\ \mathrm{s}} = 2.0\times 10^{3}\ \mathrm{A/s}$$

상호 유도 공식 $|\mathcal{E}_2| = M\,|di_1/dt|$ 에서:

$$M = \frac{|\mathcal{E}_2|}{|di_1/dt|} = \frac{30\times 10^{3}}{2.0\times 10^{3}} = \boxed{15\ \mathrm{H}}$$

12 V 전지로 30,000 V를 만드는 비결: 전압이 아니라 빠른 전류 변화 가 핵심이다.

상호 유도의 응용

• 변압기(transformer) : 교류 전압을 올리고 내리는 장치 — 송전의 핵심 (31장에서 자세히)
• 무선 충전 : 패드의 1차 코일 ↔ 기기의 2차 코일 사이의 상호 유도
• 교통카드·NFC : 단말기의 진동 자기장이 카드 코일에 전력과 신호를 동시에 전달
• 점화 코일 : 방금 본 예제 — 저전압 직류에서 고전압 펄스 생성

두 코일이 물리적으로 닿아 있지 않아도 에너지와 신호가 전달된다는 것이 상호 유도의 힘이다.

Review & Summary

핵심 개념

• 자속 : $\Phi_B = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}$, 균일·수직이면 $\Phi_B = BA$ (단위: Wb)
• 패러데이 법칙 : 자속이 변하면 기전력이 유도된다, $\mathcal{E} = -N\,d\Phi_B/dt$
• 렌츠 법칙 : 유도 전류는 변화를 방해하는 방향 — 에너지 보존의 표현
• 유도 전기장 : 변하는 자기장은 전기장을 만든다, $\oint \vec{E}\cdot d\vec{s} = -d\Phi_B/dt$ (전위 정의 불가)
• 인덕터 : $L = N\Phi_B/i$, 자체 유도 $\mathcal{E}_L = -L\,di/dt$
• RL 회로 : 시간 상수 $\tau_L = L/R$로 전류가 지수적으로 상승·감쇠
• 자기 에너지 : $U_B = \frac{1}{2}Li^2$, 에너지 밀도 $u_B = B^2/2\mu_0$

핵심 공식

기억할 것:

• 유도를 일으키는 것은 자속의 크기가 아니라 변화율 이다
• 렌츠 법칙: 유도 전류는 언제나 변화에 반대 — 공짜 에너지는 없다
• 인덕터는 전류의 관성: 처음엔 끊긴 도선, 오랜 후엔 그냥 도선
• 단위: $1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T\cdot m^2}$, $\;1\ \mathrm{H} = 1\ \mathrm{T\cdot m^2/A}$, $\;1\ \mathrm{H/\Omega} = 1\ \mathrm{s}$