29장: 전류에 의한 자기장

Magnetic Fields Due to Currents

지난 장과 이번 장

28장에서는 주어진 자기장 속에서 움직이는 전하와 전류가 받는 힘을 배웠다.

$$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}, \qquad \vec{F} = i\vec{L} \times \vec{B}$$

이번 장에서는 질문을 뒤집는다.

그 자기장은 애초에 누가 만드는가?

답: 움직이는 전하, 즉 전류가 자기장을 만든다. 전기와 자기는 동전의 양면이다.

외르스테드의 발견 (1820)

덴마크의 물리학자 외르스테드(Ørsted) 는 강의 도중 우연히, 전류가 흐르는 도선 옆에서 나침반 바늘이 움직이는 것을 발견했다.

• 전기 현상과 자기 현상이 서로 연결되어 있다는 최초의 실험적 증거
• 이 발견에서 출발한 전자기학(electromagnetism) 은 오늘날 모터, 발전기, 전자석, MRI, 핵융합 장치까지 이어진다

이번 장은 "전류 → 자기장"의 정량적인 법칙을 세우는 장이다.

이번 장의 로드맵

1. 비오-사바르 법칙(Biot–Savart law) : 전류 조각이 만드는 자기장의 기본 법칙
2. 적분으로 계산: 직선 도선, 원호, 전류 고리의 축
3. 평행한 두 전류 사이의 힘 — 인력과 척력
4. 암페어 법칙(Ampère's law) : 대칭성이 좋을 때의 지름길 (가우스 법칙의 자기 버전)
5. 솔레노이드와 토로이드 — 균일한 자기장을 만드는 장치
6. 전류 고리 = 자기 쌍극자(magnetic dipole)

29.1 전류에 의한 자기장

전류 요소가 만드는 자기장

전하 요소 $dq$가 전기장을 만들듯이, 도선을 잘게 나눈 전류-길이 요소(current-length element) $i\,d\vec{s}$ 가 자기장을 만든다.

거리 $r$ 떨어진 점 $P$에서, 한 요소가 만드는 자기장의 크기 는:

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,ds\,\sin\theta}{r^2}$$

• $\theta$: $d\vec{s}$ 와 $\hat{r}$ (요소에서 $P$를 향하는 단위벡터) 사이의 각
• $\mu_0$: 투자율 상수(permeability constant)

$$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\ \mathrm{T\cdot m/A}$$

비오-사바르 법칙

방향까지 포함한 벡터 형태가 비오-사바르 법칙(Biot–Savart law) 이다.

$$\boxed{d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}}$$

• $d\vec{B}$의 방향은 벡터곱 $d\vec{s} \times \hat{r}$의 방향 (그림에서는 지면 안쪽 $\otimes$)
• 전체 자기장은 모든 요소의 기여를 적분(중첩) 해서 얻는다

쿨롱 법칙과 비교

비오-사바르 법칙은 쿨롱 법칙처럼 역제곱 법칙 이지만, 결정적인 차이가 있다.

• 전기장은 원천에서 뻗어나가는 방향, 자기장은 원천을 감아도는 방향
• $d\vec{s}$와 $\hat{r}$이 나란하면($\theta = 0°$ 또는 $180°$) 그 요소의 기여는 0

긴 직선 도선의 자기장

비오-사바르 법칙을 적분하면 (잠시 후 유도), 전류 $i$가 흐르는 무한히 긴 직선 도선에서 수직 거리 $R$인 점의 자기장 크기는:

$$\boxed{B = \frac{\mu_0 i}{2\pi R}} \qquad \text{(긴 직선 도선)}$$

자기력선은 도선을 감싸는 동심원 이다. 기호 약속: $\odot$ 는 지면에서 나오는 방향, $\otimes$ 는 지면으로 들어가는 방향.

오른손 법칙: 전류 → 자기장 방향

자기장의 크기 계산보다 어려운 것이 방향 찾기다. 다음 규칙 하나면 충분하다.

감아쥔 오른손 법칙(curled–straight right-hand rule) : 오른손 엄지를 전류 방향으로 향하게 도선을 감아쥐면, 나머지 네 손가락이 감기는 방향이 자기력선의 방향이다.

• 임의의 점에서 $\vec{B}$는 그 점을 지나는 원의 접선 방향
• 도선과 점을 잇는 지름 방향 직선에 항상 수직
• 전류를 반대로 하면 자기장도 모든 곳에서 반대가 된다

철가루를 뿌리면 이 동심원 무늬가 실제로 나타난다.

유도: 직선 도선 (1) — 설정

무한 직선 도선에서 수직 거리 $R$인 점 $P$의 자기장을 비오-사바르 법칙으로 구하자.

• 도선 위 높이 $s$에 있는 요소 $i\,d\vec{s}$가 $P$에 만드는 장은 모두 같은 방향 (지면 안쪽 $\otimes$)
• 방향이 같으므로 크기만 적분하면 된다

유도: 직선 도선 (2) — 적분식 세우기

아래쪽 절반은 대칭에 의해 위쪽 절반과 똑같이 기여하므로, 위쪽 절반을 적분해서 2배 한다.

$$B = 2\int_0^\infty dB = \frac{\mu_0 i}{2\pi}\int_0^\infty \frac{\sin\theta\ ds}{r^2}$$

변수 $s,\ r,\ \theta$는 독립이 아니다. 그림의 기하에서:

$$r = \sqrt{s^2 + R^2}, \qquad \sin\theta = \sin(\pi - \theta) = \frac{R}{\sqrt{s^2 + R^2}}$$

대입하면 적분 변수가 $s$ 하나로 정리된다:

$$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi}\int_0^\infty \frac{R\ ds}{(s^2 + R^2)^{3/2}}$$

유도: 직선 도선 (3) — 적분 계산

치환 $s = R\tan\phi$ 로 얻어지는 표준 적분 공식을 쓴다:

$$\int \frac{ds}{(s^2+R^2)^{3/2}} = \frac{s}{R^2\sqrt{s^2+R^2}} + C$$

(우변을 미분해 보면 확인된다.) 극한값을 대입하면:

$$B = \frac{\mu_0 i R}{2\pi}\left[\frac{s}{R^2\sqrt{s^2+R^2}}\right]_0^\infty = \frac{\mu_0 i R}{2\pi}\left(\frac{1}{R^2} - 0\right)$$

$$\boxed{B = \frac{\mu_0 i}{2\pi R}}$$

$s \to \infty$에서 $\dfrac{s}{\sqrt{s^2+R^2}} \to 1$ 이므로 괄호 안은 $1/R^2$이 된다.

반무한 직선 도선

방금 본 것처럼 위쪽 절반(반무한 도선)의 기여는 전체의 절반이다. 즉 도선의 한쪽 끝 에서 수직 거리 $R$인 점에서는:

$$\boxed{B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}} \qquad \text{(반무한 직선 도선)}$$

직선 도선 결과의 물리적 의미:

• $B \propto i$ : 전류가 셀수록 강한 자기장
• $B \propto 1/R$ : 거리에 반비례 (점전하의 $1/r^2$과 다르다!)
• 무한히 긴 "선" 원천이므로 거리 의존성이 완만해진다 (무한 선전하의 전기장 $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0 r$과 같은 구조)

예제 1: 고압 송전선 아래의 자기장

전류 $i = 500$ A가 흐르는 송전선이 지상 $h = 10$ m 높이에 있다. 바로 아래 지면에서의 자기장 크기를 구하라.

직선 도선 공식에 대입하면:

$$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi h} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(500)}{2\pi (10)}$$

$4\pi/2\pi = 2$ 이므로:

$$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 500}{10} = \boxed{1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T} = 10\ \mu\mathrm{T}}$$

한국에서 지구 자기장은 약 $50\ \mu$T이다. 대전류 송전선 바로 아래에서도 지구 자기장의 1/5 수준 에 불과하다.

원호 중심의 자기장 — 설정

이번에는 반지름 $R$, 중심각 $\phi$인 원호(circular arc) 모양 도선이 중심 $C$에 만드는 자기장이다.

원호 위 어디서나 :

• $d\vec{s} \perp \hat{r}$ 이므로 $\sin\theta = \sin 90° = 1$
• 요소에서 중심까지 거리는 항상 $r = R$

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,ds\,\sin 90°}{R^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,ds}{R^2}$$

원호 중심의 자기장 — 적분

모든 요소의 $d\vec{B}$가 같은 방향(그림에서는 지면 밖 $\odot$)이므로 크기만 더한다. 호의 길이 대신 각도로 표현하기 위해 $ds = R\,d\phi$ 를 대입:

$$B = \int dB = \int_0^\phi \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i R\,d\phi}{R^2} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\int_0^\phi d\phi$$

$$\boxed{B = \frac{\mu_0 i \phi}{4\pi R}} \qquad \text{(원호의 중심에서, } \phi \text{는 라디안)}$$

완전한 원($\phi = 2\pi$)이면:

$$B = \frac{\mu_0 i (2\pi)}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i}{2R} \qquad \text{(원형 고리의 중심)}$$

주의: 이 공식은 곡률 중심에서만 성립하고, $\phi$는 반드시 라디안 으로 넣는다.

예제 2: 반원 회로의 중심 자기장

전류 $i = 10$ A가 흐르는 회로가 반지름 $R = 5.0$ cm인 반원 과, 중심 $C$를 향해 곧게 뻗은 두 개의 직선 구간 으로 되어 있다. $C$에서의 자기장은?

직선 구간의 기여 : 전류 방향 $d\vec{s}$가 $C$를 향하는 지름 방향과 나란하다. $\theta = 0°$ 또는 $180°$이므로 $\sin\theta = 0$:

$$B_{\text{직선}} = 0$$

반원의 기여 : $\phi = \pi$를 대입하면:

$$B = \frac{\mu_0 i \pi}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i}{4R} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(10)}{4(0.050)} = \boxed{6.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T} \approx 63\ \mu\mathrm{T}}$$

방향은 오른손 법칙으로: 그림의 전류 방향에 따라 지면 안 또는 밖.

개념 확인: 두 도선 사이의 중점

같은 크기의 전류 $i = 5.0$ A가 흐르는 두 평행 도선이 $d = 8.0$ cm 떨어져 있다. 두 도선의 정중앙에서 각 도선이 만드는 장의 크기는 ($r = 4.0$ cm):

$$B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{(2\times 10^{-7})(5.0)}{0.040} = 25\ \mu\mathrm{T}$$

자기장은 벡터 이므로 방향이 관건이다 (오른손 법칙으로 각각 판정):

• 두 전류가 같은 방향 : 중점에서 두 장이 서로 반대 방향 → $B = 0$
• 두 전류가 반대 방향 : 중점에서 두 장이 같은 방향 → $B = 50\ \mu$T

여러 전류가 있으면 언제나 벡터 합(중첩 원리) 으로 구한다.

29.2 두 평행 전류 사이의 힘

전류는 서로 힘을 주고받는다

전류는 자기장을 만들고 (29.1), 자기장 속의 전류는 힘을 받는다 (28장). 그러면 나란한 두 전류는 서로 힘을 주고받아야 한다!

일반적인 절차:

도선 $b$가 받는 힘 = 도선 $a$가 도선 $b$ 위치에 만드는 자기장 $\vec{B}_a$를 먼저 구하고, 그 장 속에서 전류 $i_b$가 받는 힘 $\vec{F}_{ba} = i_b\vec{L} \times \vec{B}_a$를 구한다.

거리 $d$만큼 떨어진 도선 $b$의 위치에서, 도선 $a$의 장의 크기는:

$$B_a = \frac{\mu_0 i_a}{2\pi d}$$

힘의 크기와 방향

도선 $b$의 길이 $L$ 구간이 받는 힘은 $\vec{L} \perp \vec{B}_a$ 이므로:

$$F_{ba} = i_b L B_a \sin 90° = \boxed{\frac{\mu_0 L\, i_a i_b}{2\pi d}}$$

단위 길이당 힘으로 쓰면 $F/L = \mu_0 i_a i_b / 2\pi d$.

$\vec{L} \times \vec{B}_a$의 방향을 따져 보면 (그림):

평행한 전류는 서로 당기고(인력), 반평행한 전류는 서로 민다(척력).

암페어의 정의, 그리고 레일건

이 힘은 전류의 SI 단위 암페어(ampere) 의 뿌리다.

• 1946년 정의: 1 m 떨어진 두 무한 평행 도선에 같은 전류를 흘렸을 때 단위 길이당 힘이 $2 \times 10^{-7}$ N/m이 되는 전류가 $1$ A
• (2019년부터는 기본 전하 $e$의 값을 고정하는 방식으로 재정의되었다)

같은 원리의 극단적 응용이 레일건(rail gun) 이다:

• 두 평행 레일에 수백만 암페어의 전류 → 레일 사이 강한 자기장
• 전류가 흐르는 발사체가 $\vec{F} = i\vec{L}\times\vec{B}$의 힘으로 가속
• 화약 없이 발사체를 수 km/s까지 가속할 수 있다

예제 3: 두 평행 도선 사이의 힘

두 평행 도선에 각각 $i_1 = i_2 = 10$ A의 전류가 같은 방향으로 흐르고, 간격은 $d = 2.0$ cm이다. 단위 길이당 힘을 구하라.

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi d} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(10)(10)}{2\pi (0.020)}$$

$$\frac{F}{L} = \frac{(2 \times 10^{-7})(100)}{0.020} = \boxed{1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{N/m}}$$

같은 방향이므로 인력 이다. 1 m당 겨우 1 mN — 일상적인 전류로는 매우 작은 힘이라 평소에 느끼지 못한다. 하지만 낙뢰나 단락 사고 수준의 대전류에서는 도선을 휘게 할 만큼 커진다.

29.3 암페어 법칙

대칭성을 쓰는 지름길

전기장에서 임의의 전하 분포는 쿨롱 법칙으로 적분했지만, 대칭성 이 좋으면 가우스 법칙으로 훨씬 쉽게 구했다. 자기장에도 같은 구조가 있다.

가우스 법칙이 곡면을 뚫는 선속 을 세었다면, 암페어 법칙은 곡선을 따라 도는 순환 을 센다.

암페어 법칙

$$\boxed{\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0\, i_{\text{enc}}}$$

• 좌변: 닫힌 곡선인 암페어 고리(Amperian loop) 를 따라 $\vec{B} \cdot d\vec{s} = B\cos\theta\, ds$ 를 한 바퀴 적분한 것
• 우변: 고리가 감싸는(둘러싸는) 알짜 전류 $i_{\text{enc}}$

고리는 실제 물체가 아니라 가우스면처럼 마음대로 그리는 수학적 곡선 이다.

부호 규칙과 감싼 전류

적분 방향을 정한 뒤, 감싼 전류의 부호는 오른손 법칙으로 정한다.

오른손 네 손가락을 적분 방향 으로 감으면, 엄지 방향의 전류는 $+$, 반대 방향은 $-$.

그림의 경우 (반시계 적분, $i_1$은 $\odot$, $i_2$는 $\otimes$):

$$i_{\text{enc}} = i_1 - i_2$$

• 고리 밖의 $i_3$: 고리 위 각 점의 $\vec{B}$에는 기여하지만, 한 바퀴 적분하면 기여가 정확히 상쇄 되어 우변에 나타나지 않는다
• 적분 결과 $B$가 음수로 나오면, 가정한 방향과 반대라는 뜻

적용 1: 직선 도선 외부의 장

반지름 $R$인 긴 직선 도선에 전류 $i$가 균일하게 흐른다. 도선 밖 ($r > R$)의 장을 구하자.

• 대칭성: 장의 크기는 축에서 거리 $r$에만 의존하고, 방향은 동심원의 접선
• 반지름 $r$인 동심원 을 암페어 고리로 잡고 $\vec{B}$ 방향으로 적분하면 $\theta = 0$:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = B \oint ds = B(2\pi r)$$

감싼 전류는 $i$ 전부이므로:

$$B(2\pi r) = \mu_0 i \quad\Rightarrow\quad \boxed{B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}} \qquad (r \ge R)$$

비오-사바르 법칙으로 힘들게 적분했던 결과가 몇 줄 만에 나온다!

적용 2: 직선 도선 내부의 장

이번에는 도선 안 ($r < R$)이다. 같은 대칭성으로 반지름 $r$인 동심원 고리를 잡으면 좌변은 그대로 $B(2\pi r)$.

차이는 우변이다. 전류가 단면에 균일 하게 퍼져 있으므로, 고리가 감싸는 전류는 넓이에 비례한다:

$$i_{\text{enc}} = i\,\frac{\pi r^2}{\pi R^2}$$

따라서:

$$B(2\pi r) = \mu_0 i\,\frac{r^2}{R^2} \quad\Rightarrow\quad \boxed{B = \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi R^2}\right) r} \qquad (r \le R)$$

내부에서는 $B \propto r$: 중심에서 0이고 표면으로 갈수록 커진다.

도선 안팎의 B(r) 그래프

• 내부: $B = (\mu_0 i / 2\pi R^2)\, r$ — 선형 증가
• 외부: $B = \mu_0 i / 2\pi r$ — 반비례 감소
• 표면 $r = R$에서 두 식이 만나고, 이때 $B$가 최대

예제 4: 비균일 전류밀도 (설정)

안쪽 반지름 $a = 2.0$ cm, 바깥 반지름 $b = 4.0$ cm인 긴 도체 원통에 전류가 지면 밖으로 흐른다. 전류밀도는 $J = cr^2$ ($c = 3.0 \times 10^6\ \mathrm{A/m^4}$)로 비균일 하다. $r = 3.0$ cm인 점의 $B$는?

• 원통 대칭 → 반지름 $r$인 동심원을 암페어 고리로 사용
• 전류밀도가 비균일하므로 넓이 비례로는 못 구하고, 적분해야 한다
• 반지름 $r'$, 두께 $dr'$인 얇은 고리의 넓이는 $dA = 2\pi r'\,dr'$

$$i_{\text{enc}} = \int_a^r J\,dA = \int_a^r cr'^2\,(2\pi r'\,dr') = 2\pi c \int_a^r r'^3\,dr'$$

예제 4: 비균일 전류밀도 (계산)

적분을 수행하면:

$$i_{\text{enc}} = 2\pi c \left[\frac{r'^4}{4}\right]_a^r = \frac{\pi c (r^4 - a^4)}{2}$$

암페어 법칙 $B(2\pi r) = \mu_0 i_{\text{enc}}$에 대입:

$$B = \frac{\mu_0 c\,(r^4 - a^4)}{4r} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(3.0 \times 10^6)\left[(0.030)^4 - (0.020)^4\right]}{4(0.030)}$$

분자의 대괄호는 $8.1 \times 10^{-7} - 1.6 \times 10^{-7} = 6.5 \times 10^{-7}$:

$$\boxed{B \approx 2.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T} = 20\ \mu\mathrm{T}}$$

29.4 솔레노이드와 토로이드

솔레노이드

도선을 촘촘하게 나선형으로 감은 긴 코일을 솔레노이드(solenoid) 라 한다 (길이 ≫ 지름).

각 감긴 도선(turn)은 자기 주위에 동심원 장을 만들고, 이들이 중첩 되면:

• 내부 : 이웃 도선들의 기여가 축 방향으로 정렬 → 강하고 거의 균일한 장
• 외부 : 위쪽 도선과 아래쪽 도선의 기여가 반대 방향 → 거의 상쇄

이상화한 이상 솔레노이드(ideal solenoid) 에서는 내부는 완전히 균일, 외부는 $B = 0$으로 근사한다.

축 방향은 역시 오른손 법칙: 네 손가락을 감긴 전류 방향으로 감으면 엄지가 내부 $\vec{B}$의 방향.

유도: 솔레노이드 내부의 장

직사각형 고리 $abcd$에 암페어 법칙을 적용하면, 네 구간의 적분은:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} = \underbrace{Bh}_{a\to b\ (\text{내부, 나란})} + \underbrace{0}_{b\to c\ (\perp)} + \underbrace{0}_{c\to d\ (B=0)} + \underbrace{0}_{d\to a\ (\perp)} = Bh$$

솔레노이드 공식

단위 길이당 감은 수를 $n$ (turns/m)이라 하면, 길이 $h$ 구간에 $nh$번 감겨 있으므로 고리가 감싸는 전류는:

$$i_{\text{enc}} = i\,(nh)$$

암페어 법칙에 대입하면 $Bh = \mu_0 i n h$, 즉:

$$\boxed{B = \mu_0 i n} \qquad \text{(이상 솔레노이드 내부)}$$

주목할 점:

• $B$는 솔레노이드의 지름이나 길이에 무관 하고, 단면 어디서나 같다
• 축전기가 균일한 전기장 을 만들듯, 솔레노이드는 균일한 자기장 을 만드는 실용 장치다

응용: MRI의 초전도 솔레노이드

병원의 MRI(자기공명영상) 장치의 원통형 터널이 바로 거대한 솔레노이드다. 초전도 도선으로 감아 $1.5\sim3$ T의 강하고 균일한 자기장을 만든다 — 지구 자기장의 수만 배 다.

예제 5: 솔레노이드의 자기장

길이 $L = 50$ cm에 도선을 $N = 1500$번 감은 솔레노이드에 전류 $i = 4.0$ A를 흘린다. 내부 자기장은?

먼저 단위 길이당 감은 수:

$$n = \frac{N}{L} = \frac{1500}{0.50} = 3000\ \mathrm{turns/m}$$

공식에 대입:

$$B = \mu_0 i n = (4\pi \times 10^{-7})(4.0)(3000)$$

$$\boxed{B \approx 1.5 \times 10^{-2}\ \mathrm{T} = 15\ \mathrm{mT}}$$

지구 자기장($\sim 50\ \mu$T)의 약 300배를 책상 위 크기 장치로 만들 수 있다.

토로이드

솔레노이드를 구부려 양 끝을 이어 붙인 도넛 모양 코일이 토로이드(toroid) 다.

대칭성에 의해 자기력선은 관 내부를 도는 동심원 이다. 반지름 $r$인 원을 암페어 고리로 잡으면 ($N$ = 총 감은 수):

$$B(2\pi r) = \mu_0 i N \quad\Rightarrow\quad \boxed{B = \frac{\mu_0 i N}{2\pi}\,\frac{1}{r}}$$

토로이드의 특징과 KSTAR

• 솔레노이드와 달리 내부 장이 균일하지 않다 ($B \propto 1/r$: 안쪽일수록 강함)
• 관 밖(구멍 속과 바깥 모두)에서는 $B = 0$ — 자기장이 관 속에 갇힌다
• 이 "가두는" 성질 때문에 핵융합 장치 토카막(tokamak) 이 토로이드 모양이다. 사진은 대전에 있는 한국의 초전도 토카막 KSTAR — 1억 °C의 플라스마를 자기장으로 가둔다

29.5 전류 고리는 자기 쌍극자

복습: 코일이 받는 토크

28장에서 배웠다: 전류 고리(코일)를 외부 자기장에 넣으면 토크를 받는다.

$$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}, \qquad \mu = NiA$$

• $\vec{\mu}$: 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment) , 방향은 오른손 법칙 (손가락을 전류 방향으로 감으면 엄지)
• 막대자석이 나침반처럼 정렬하는 것과 같은 거동

이번에는 반대쪽 질문이다: 전류 고리는 스스로 어떤 자기장을 만드는가?

목표: 고리 축 위의 자기장

반지름 $R$인 원형 고리에 전류 $i$가 흐른다. 중심을 지나는 수직 축($z$축) 위, 중심에서 거리 $z$인 점 $P$의 자기장을 구하자.

$$B(z) = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} \qquad \text{(지금부터 유도)}$$

• 축 위가 아닌 일반적인 점은 대칭성이 부족해 암페어 법칙을 쓸 수 없다 → 비오-사바르 법칙 으로 돌아간다
• 결과의 방향은 축 방향, $\vec{\mu}$와 같은 방향이다

유도: 고리 축 (1) — 성분 분해

• 고리 위 요소 $d\vec{s}$는 $\hat{r}$과 수직($\theta = 90°$)이고, $d\vec{B}$는 $\hat{r}$에 수직인 방향
• $d\vec{B}$를 축 성분 $dB_\parallel$과 수직 성분 $dB_\perp$로 나누면, 마주 보는 요소끼리 $dB_\perp$가 상쇄
• 살아남는 것은 축 성분뿐: $B = \int dB_\parallel$

유도: 고리 축 (2) — 적분

비오-사바르 법칙에서 ($\sin 90° = 1$):

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,ds}{r^2}, \qquad dB_\parallel = dB\cos\alpha$$

그림의 기하에서 $r = \sqrt{R^2 + z^2}$, $\cos\alpha = R/r$ 이므로:

$$dB_\parallel = \frac{\mu_0 i \cos\alpha}{4\pi r^2}\,ds = \frac{\mu_0 i R}{4\pi (R^2+z^2)^{3/2}}\,ds$$

$i,\ R,\ z$는 모든 요소에 대해 같으므로 상수로 빠져나오고, $\oint ds = 2\pi R$ (둘레):

$$B = \frac{\mu_0 i R}{4\pi (R^2+z^2)^{3/2}}\,(2\pi R)$$

고리 축 위의 자기장 — 결과와 검산

$$\boxed{B(z) = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}} \qquad \text{(원형 고리의 축 위)}$$

검산 1 — 중심 ($z = 0$):

$$B(0) = \frac{\mu_0 i R^2}{2R^3} = \frac{\mu_0 i}{2R}$$

원호 공식에서 $\phi = 2\pi$를 넣은 결과와 정확히 일치한다 ✓

검산 2 — 단위: $[\mu_0 i / R] = \mathrm{(T\cdot m/A)(A)/m} = \mathrm{T}$ ✓

멀리서 본 고리: 쌍극자 근사

축 위 멀리 떨어진 점($z \gg R$)에서는 $R^2 + z^2 \approx z^2$이므로:

$$B(z) \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2z^3}$$

$\pi R^2 = A$ (고리 넓이)를 쓰고, $N$번 감은 코일로 확장하면 $\mu = NiA$:

$$B(z) = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{NiA}{z^3} = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{\mu}{z^3}$$

$\vec{B}$와 $\vec{\mu}$의 방향이 같으므로 벡터로:

$$\boxed{\vec{B}(z) = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{\vec{\mu}}{z^3}} \qquad (z \gg R)$$

전류 고리 = 자기 쌍극자

전류 고리를 "자기 쌍극자"라 부르는 이유가 완성되었다.

1. 외부 자기장 속에서 토크 를 받는다: $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$
2. 스스로 쌍극자형 자기장 을 만든다: $\vec{B} \propto \vec{\mu}/z^3$

전기 쌍극자와 완벽히 평행한 구조다 (22장):

고리의 한쪽 면은 N극, 반대쪽 면은 S극처럼 행동한다 — 사실 막대자석의 자기장도 내부 전자들의 미시적 전류 고리에서 나온다.

Review & Summary

핵심 개념

• 비오-사바르 법칙 : 전류 요소 $i\,d\vec{s}$가 만드는 자기장. 역제곱 + 벡터곱 → 장은 전류를 감아도는 방향 (오른손 법칙)
• 직선 도선 : $B \propto i/R$, 자기력선은 동심원
• 평행 전류 : 같은 방향이면 인력, 반대 방향이면 척력
• 암페어 법칙 : 고리를 따라 도는 순환 = $\mu_0 \times$ 감싼 전류. 대칭성이 좋을 때 지름길
• 솔레노이드/토로이드 : 균일한 장 / 갇힌 장을 만드는 장치
• 전류 고리 = 자기 쌍극자 : 멀리서 $B \propto \mu/z^3$

핵심 공식

축 위의 자기 쌍극자: $\vec{B}(z) = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\,\dfrac{\vec{\mu}}{z^3}$ ($z \gg R$, $\mu = NiA$)