27장: 회로

Circuits

지난 장 복습: 전류와 저항

26장에서 배운 내용 중 이번 장에서 계속 쓸 도구들이다.

• 전류(current) : 단면을 단위 시간당 통과하는 전하량 $$i = \frac{dq}{dt}$$
• 저항(resistance) 의 정의와 옴의 법칙: $$V = iR$$
• 저항에서 소모되는 전력(power) : $$P = iV = i^2R = \frac{V^2}{R}$$

이번 장에서는 이 부품들을 연결해서 만든 회로(circuit) 전체를 분석한다.

이번 장에서 배울 내용

스마트폰, 손전등, 자동차 — 모든 전기 기기의 바탕에는 직류 회로(DC circuit) 가 있다.

1. 기전력(emf) : 전하를 계속 흐르게 만드는 "전하 펌프"
2. 키르히호프 법칙(Kirchhoff's rules) : 루프 법칙과 접점 법칙 — 모든 회로 분석의 기본
3. 직렬·병렬 저항 : 복잡한 회로를 단순하게 줄이는 방법
4. RC 회로 : 저항과 축전기가 만나면 시간에 따라 변하는 전류가 나타난다

이번 장의 회로는 전하가 한 방향으로만 흐르는 직류(direct current, DC) 회로다.

전지는 일상 속에 있다

• 리모컨의 AA 전지부터 동전형 전지, 9 V 전지까지 — 모두 기전력 장치 다
• 겉모양은 달라도 하는 일은 같다: 두 단자 사이의 전위차를 유지 하는 것
• 스마트폰 배터리, 자동차 배터리, 태양 전지판도 같은 원리

오늘의 첫 질문: 전지는 어떻게 전하를 계속 흐르게 만들까?

27.1 단일 루프 회로

전하를 "퍼올려야" 한다

저항에 전류를 흘리려면 저항 양단에 전위차를 만들어야 한다. 충전된 축전기를 연결하면 어떨까?

• 전류가 흐르는 순간 축전기가 방전 되면서 두 판의 전위차가 급격히 줄어든다
• 전위차가 사라지면 전기장도 사라지고, 전류는 멈춘다

정상 전류를 유지하려면 전하를 낮은 전위에서 높은 전위로 계속 퍼올리는 펌프 가 필요하다. 이 역할을 하는 장치가 기전력 장치(emf device) 다.

물 펌프가 물을 아래에서 위로 퍼올려 물레방아를 계속 돌리는 것과 같은 구조다.

기전력 장치의 종류

기전력 장치는 전하 운반자에 일을 해서 두 단자 사이의 전위차를 유지한다. 에너지원은 다양하다.

• 전지(battery) : 화학 에너지
• 발전기(electric generator) : 역학적 에너지 (발전소에서 가정까지)
• 태양 전지(solar cell) : 빛 에너지
• 연료 전지(fuel cell) : 연료의 화학 에너지 (수소차)
• 생물도 기전력 장치를 갖는다: 전기뱀장어, 그리고 우리 몸의 신경 세포

작동 방식은 달라도 하는 일은 모두 같다 — 전하를 저전위 단자에서 고전위 단자로 옮기는 것.

기전력의 정의

기전력 장치가 전하 $dq$를 음(−) 단자에서 양(+) 단자로 옮기며 하는 일이 $dW$라면, 기전력(electromotive force, emf) 은 단위 전하당 한 일로 정의한다.

$$\boxed{\mathcal{E} = \frac{dW}{dq}}$$

• 단위: J/C = 볼트(V) — 전위와 같은 단위
• 기전력 화살표는 − 단자에서 + 단자로 그린다 (꼬리에 작은 원)

이상적인 전지와 실제 전지

• 이상적인 기전력 장치(ideal emf device) : 내부에 저항이 없다
  • 단자 사이의 전위차가 항상 기전력과 같다: $V = \mathcal{E}$
• 실제 기전력 장치(real emf device) : 내부에 내부 저항(internal resistance) $r$이 있다
  • 전류가 흐르지 않을 때만 $V = \mathcal{E}$
  • 전류가 흐르면 단자 전압은 기전력과 달라진다 (곧 계산한다)

이 책에서 "전지"라고만 하면 보통 이상적인 전지다. 내부 저항이 있으면 문제에서 $r$을 명시한다.

단일 루프 회로의 전류: 에너지 방법

이상적인 전지 $\mathcal{E}$와 저항 $R$로 이루어진 가장 간단한 회로에서 전류 $i$를 구해 보자.

시간 $dt$ 동안 전하 $dq = i\,dt$가 회로의 임의 단면을 통과한다.

• 전지가 이 전하에 하는 일: $$dW = \mathcal{E}\,dq = \mathcal{E}i\,dt$$
• 같은 시간 동안 저항에서 열로 소산되는 에너지 (26장): $$dE_{\text{열}} = i^2R\,dt$$

도선의 저항은 무시하므로, 에너지 보존 에 의해 두 양이 같아야 한다.

에너지 방법 계속

에너지 보존을 식으로 쓰면:

$$\mathcal{E}i\,dt = i^2R\,dt$$

양변을 $i\,dt$로 나누면:

$$\mathcal{E} = iR$$

따라서 전류는:

$$\boxed{i = \frac{\mathcal{E}}{R}}$$

물리적 의미: 전지가 단위 전하에 준 에너지($\mathcal{E}$)가 저항에서 단위 전하가 잃는 에너지($iR$)와 같다.

전위 방법: 루프 법칙

같은 답을 전위(potential) 로도 얻을 수 있다. 회로의 한 점에서 출발해 한 바퀴 돌아 제자리로 오면, 전위도 원래 값으로 돌아와야 한다.

루프 법칙(loop rule) : 회로의 임의의 닫힌 루프를 한 바퀴 돌 때 만나는 전위 변화의 대수적 합은 0이다.

키르히호프(Kirchhoff)의 전압 법칙 이라고도 한다. 산에서 출발점으로 되돌아오면 고도 변화의 합이 0인 것과 같다.

루프 법칙 적용

점 $a$ (전위 $V_a$)에서 출발해 시계 방향으로 한 바퀴 돌아 보자.

• 전지를 − 단자에서 + 단자로 통과: 전위가 $\mathcal{E}$만큼 올라간다 → $+\mathcal{E}$
• 저항을 전류 방향으로 통과: 전위가 내려간다 → $-iR$
• 도선에서는 전위 변화 없음 (저항 무시)

$$V_a + \mathcal{E} - iR = V_a$$

$V_a$가 소거되고:

$$\mathcal{E} - iR = 0 \quad\Rightarrow\quad i = \frac{\mathcal{E}}{R}$$

에너지 방법과 같은 결과다. 반시계 방향으로 돌면 $-\mathcal{E} + iR = 0$ — 역시 같은 답.

두 가지 통행 규칙

복잡한 회로에서도 쓸 수 있도록 규칙으로 정리하자.

저항 법칙(resistance rule) : 저항을 전류 방향으로 지나면 전위 변화는 $-iR$, 전류 반대 방향으로 지나면 $+iR$.

기전력 법칙(emf rule) : 이상적인 기전력 장치를 기전력 화살표 방향(− → +)으로 지나면 $+\mathcal{E}$, 반대 방향으로 지나면 $-\mathcal{E}$.

기억법:

• 전류는 저항에서 전위가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 흐른다 (전류 따라가면 내리막)
• 순회 방향은 시계·반시계 어느 쪽이든 상관없다 — 부호만 일관되게

내부 저항이 있는 실제 전지

실제 전지는 내부의 화학 물질 자체가 저항 $r$을 갖는다. 이상적인 전지 $\mathcal{E}$와 저항 $r$이 직렬로 들어 있는 것처럼 그린다.

$r$은 전지에서 떼어낼 수 없는, 전지 내부 재료의 저항이다.

실제 전지가 연결된 회로의 전류

점 $a$에서 시계 방향으로 루프 법칙을 적용하면:

$$\mathcal{E} - ir - iR = 0$$

$i$에 대해 풀면:

$$\boxed{i = \frac{\mathcal{E}}{R + r}}$$

• $r = 0$이면 이상적인 전지의 결과 $i = \mathcal{E}/R$로 돌아간다
• 내부 저항은 회로에 직렬로 저항이 하나 더 있는 것과 같은 효과

전지가 오래되면 $r$이 커져서, 같은 기전력이라도 흘릴 수 있는 전류가 줄어든다.

회로 한 바퀴: 전위의 오르내림

회로를 따라 이동하며 전위를 그래프로 그려 보면 루프 법칙이 한눈에 보인다.

전위 산을 오르내리다 출발점으로 돌아오면 반드시 원래 높이다: $+\mathcal{E} - ir - iR = 0$.

직렬 저항

저항 여러 개가 직렬(in series) 로 연결되면, 전하가 지나갈 길이 하나뿐이므로 모든 저항에 같은 전류 가 흐른다.

• 각 저항의 전위차를 모두 합하면 전지가 걸어준 전체 전위차 $V$가 된다
• 직렬 조합은 같은 $i$와 같은 전체 전위차를 갖는 등가 저항(equivalent resistance) $R_{\text{eq}}$ 하나로 바꿀 수 있다

직렬 등가 저항의 유도

왼쪽 회로에 루프 법칙 적용 (시계 방향):

$$\mathcal{E} - iR_1 - iR_2 - iR_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad i = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + R_3}$$

등가 회로에 루프 법칙 적용:

$$\mathcal{E} - iR_{\text{eq}} = 0 \quad\Rightarrow\quad i = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{eq}}}$$

두 식에서 같은 $i$가 나와야 하므로:

$$\boxed{R_{\text{eq}} = \sum_{j=1}^{n} R_j \qquad (n\text{개 직렬})}$$

직렬 등가 저항은 어떤 개별 저항보다도 크다.

두 점 사이의 전위차

회로의 두 점 사이 전위차는 아무 경로나 따라가며 전위 변화를 더하면 된다.

내부 저항 $r$이 있는 전지의 단자 $a$에서 $b$까지, 전지를 통과하는 경로로 가 보자.

$$V_a + \mathcal{E} - ir = V_b$$

$$V_b - V_a = \mathcal{E} - ir$$

$i = \mathcal{E}/(R+r)$을 대입하면:

$$V_b - V_a = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E}}{R+r}\,r = \frac{\mathcal{E}}{R+r}\,R$$

반대쪽 경로(저항 $R$ 쪽)로 가도 $V_b - V_a = iR$ — 같은 결과 다. 전위차는 경로와 무관하다.

단자 전압

$V = V_b - V_a$를 전지의 단자 전압(terminal voltage) 이라 한다.

$$\boxed{V = \mathcal{E} - ir}$$

• 전류가 흐르지 않으면 ($i = 0$): $V = \mathcal{E}$
• 정상 방향으로 방전 중이면: $V < \mathcal{E}$ — 내부 저항에서 $ir$만큼 깎인다
• 거꾸로 충전 중이면 (전류가 + 단자로 들어감): $V = \mathcal{E} + ir > \mathcal{E}$

전지에 "1.5 V"라고 쓰여 있어도, 전류를 흘리는 동안 단자 전압은 그보다 낮다.

예제 1: 내부 저항이 있는 전지

기전력 $\mathcal{E} = 12$ V, 내부 저항 $r = 2.0\ \Omega$인 전지에 외부 저항 $R = 4.0\ \Omega$을 연결했다. (a) 전류와 (b) 단자 전압을 구하라.

(a) 전류 : 루프 법칙 $\mathcal{E} - ir - iR = 0$에서

$$i = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{12}{4.0 + 2.0} = 2.0\ \mathrm{A}$$

(b) 단자 전압 :

$$V = \mathcal{E} - ir = 12 - (2.0)(2.0) = 8.0\ \mathrm{V}$$

확인: 외부 저항 쪽으로 계산해도 $V = iR = (2.0)(4.0) = 8.0$ V로 일치한다. 12 V 전지인데 단자에는 8.0 V만 걸린다!

회로의 접지

회로의 한 점을 지구에 도체로 연결하는 것을 접지(grounding) 라 한다. 회로도에서는 아래로 갈수록 짧아지는 세 가로줄 기호로 그린다.

• 접지는 그 점의 전위를 0으로 정의 하는 것과 같다
• 접지 하나만 연결하는 것은 회로의 전류 분포를 바꾸지 않는다 — 기준점만 정한다

예제 1의 회로에서 ($V_b - V_a = 8.0$ V):

• 점 $a$를 접지하면: $V_a = 0$, $V_b = +8.0$ V
• 점 $b$를 접지하면: $V_b = 0$, $V_a = -8.0$ V

전위의 절대값은 기준 나름이고, 전위차 만이 물리적으로 의미가 있다.

전력, 전위, 기전력

실제 전지가 전류 $i$를 흘릴 때 에너지가 어디로 가는지 따져 보자. 전지가 전하 운반자에게 넘겨주는 알짜 전력은:

$$P = iV = i(\mathcal{E} - ir) = i\mathcal{E} - i^2r$$

• $i^2r$ 항은 내부 저항에서 열로 사라지는 전력: $$P_r = i^2 r$$
• 남은 $i\mathcal{E}$ 항이 전지의 화학 에너지가 소모되는 비율: $$\boxed{P_{\text{emf}} = i\mathcal{E}}$$

즉 화학 에너지 $i\mathcal{E}$ 중 일부($i^2r$)는 전지 내부에서 열이 되고, 나머지($iV$)만 외부 회로로 나간다.

예제 1 계속: 에너지는 어디로 가는가

예제 1의 회로($\mathcal{E} = 12$ V, $r = 2.0\ \Omega$, $R = 4.0\ \Omega$, $i = 2.0$ A)에서 전력 배분을 계산해 보자.

• 전지의 화학 에너지 소모율: $$P_{\text{emf}} = i\mathcal{E} = (2.0)(12) = 24\ \mathrm{W}$$
• 내부 저항에서의 열 발생률: $$P_r = i^2r = (2.0)^2(2.0) = 8.0\ \mathrm{W}$$
• 외부 저항에서의 열 발생률: $$P_R = i^2R = (2.0)^2(4.0) = 16\ \mathrm{W}$$

검산: $8.0 + 16 = 24$ W — 에너지 보존이 정확히 성립한다. 전지가 뜨거워지는 이유가 바로 $P_r$이다.

예제 2: 실제 전지 두 개가 있는 단일 루프

기전력이 다른 두 실제 전지가 서로 반대 방향으로 연결되어 있다.

$$\mathcal{E}_1 = 4.4\ \mathrm{V}, \quad \mathcal{E}_2 = 2.1\ \mathrm{V}$$ $$r_1 = 2.3\ \Omega, \quad r_2 = 1.8\ \Omega, \quad R = 5.5\ \Omega$$

두 전지는 전류를 서로 반대로 밀려고 한다. $\mathcal{E}_1 > \mathcal{E}_2$이므로 더 큰 기전력이 방향을 결정 한다 — 전지 1이 이기고, 전지 2는 거꾸로 충전당한다.

전기적으로는 자동차의 방전된 배터리를 점프 케이블로 충전하는 상황과 같다.

예제 2 풀이: 전류

전류 방향(전지 1이 미는 방향)을 정하고, 그 반대로 루프를 돌며 전위 변화를 더하면:

$$-\mathcal{E}_1 + ir_1 + iR + ir_2 + \mathcal{E}_2 = 0$$

$i$에 대해 풀면:

$$i = \frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2}{R + r_1 + r_2} = \frac{4.4 - 2.1}{5.5 + 2.3 + 1.8} = \frac{2.3}{9.6}$$

$$\boxed{i \approx 0.24\ \mathrm{A} = 240\ \mathrm{mA}}$$

분자가 두 기전력의 차 인 것에 주목 — 두 전지가 서로 반대로 밀기 때문이다.

예제 2 풀이: 전지 1의 단자 전압

전지 1의 − 단자(점 $b$)에서 + 단자(점 $a$)까지 전지를 통과하며 전위를 따라가면:

$$V_b - ir_1 + \mathcal{E}_1 = V_a$$

$$V_a - V_b = \mathcal{E}_1 - ir_1 = 4.4 - (0.2396)(2.3)$$

$$\boxed{V_a - V_b \approx 3.8\ \mathrm{V}}$$

• 단자 전압(3.8 V)이 기전력(4.4 V)보다 낮다 — 내부 저항 때문
• 전위차는 어느 경로로 계산해도 같다 (직접 확인해 보라)

27.2 다중 루프 회로

접점 법칙

루프가 여러 개인 회로에서는 전류가 갈라지고 합쳐진다. 도선이 만나는 점을 접점(junction) 이라 한다.

접점 법칙(junction rule) : 접점으로 들어오는 전류의 합은 나가는 전류의 합과 같다.

키르히호프의 전류 법칙 이라고도 한다. 정상 전류에서는 접점에 전하가 쌓이거나 사라질 수 없다는 전하 보존 의 표현이다.

회로 분석의 두 도구

이제 어떤 회로든 분석할 수 있는 도구가 갖춰졌다.

분석 절차:

1. 각 가지(branch)에 전류 이름과 방향을 임의로 정한다
2. 접점 법칙과 루프 법칙으로 미지수 개수만큼 독립된 방정식 을 세운다
3. 연립방정식을 푼다 — 답이 음수면 실제 방향이 가정과 반대라는 뜻

병렬 저항

저항들이 병렬(in parallel) 로 연결되면, 양쪽 끝이 각각 같은 접점에 묶여 있으므로 모든 저항에 같은 전위차 $V$가 걸린다.

• 전류는 접점에서 갈라져 각 저항으로 나뉘어 흐른다
• 병렬 조합도 등가 저항 $R_{\text{eq}}$ 하나로 바꿀 수 있다

병렬 등가 저항의 유도

각 저항에 걸린 전위차는 모두 $V$이므로, 각 가지의 전류는:

$$i_1 = \frac{V}{R_1}, \quad i_2 = \frac{V}{R_2}, \quad i_3 = \frac{V}{R_3}$$

접점 $a$에 접점 법칙을 적용하면:

$$i = i_1 + i_2 + i_3 = V\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right)$$

등가 저항이라면 $i = V/R_{\text{eq}}$이어야 하므로:

$$\boxed{\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{R_j} \qquad (n\text{개 병렬})}$$

병렬 연결의 성질

두 개일 때는 곱을 합으로 나눈 꼴이 편리하다:

$$R_{\text{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

• 병렬 등가 저항은 어떤 개별 저항보다도 작다 — 전류가 지나갈 길이 늘어나기 때문
• 같은 저항 $R$ 두 개를 병렬로: $R_{\text{eq}} = R/2$, $n$개면 $R/n$

가정의 콘센트들은 모두 병렬 연결이다. 그래서 어느 기기든 같은 220 V를 받고, 하나를 꺼도 나머지는 계속 작동한다.

직렬 vs 병렬 정리

주의: 저항과 축전기는 직렬·병렬 공식이 서로 반대 꼴이다. 헷갈리지 말 것!

예제 3: 직렬과 병렬의 혼합

이상적인 전지 $\mathcal{E} = 12$ V에 네 저항이 연결되어 있다. $R_1 = 20\ \Omega$은 전지와 직렬, 그 다음 $R_2 = 20\ \Omega$과 $R_3 = 30\ \Omega$이 병렬, 마지막으로 $R_4 = 8.0\ \Omega$이 직렬이다.

(a) 전지를 지나는 전류는?

전략 : 병렬 부분을 등가 저항으로 바꿔 단일 루프로 만든다.

$$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{(20)(30)}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12\ \Omega$$

이제 회로는 $R_1$, $R_{23}$, $R_4$가 직렬인 단일 루프다.

예제 3 풀이 (a): 전체 전류

직렬 등가 저항:

$$R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} + R_4 = 20 + 12 + 8.0 = 40\ \Omega$$

루프 법칙 $\mathcal{E} - i_1 R_{\text{eq}} = 0$에서:

$$\boxed{i_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{eq}}} = \frac{12}{40} = 0.30\ \mathrm{A}}$$

주의할 점: $R_1$과 $R_2$는 직렬이 아니다. $R_1$을 지난 전류는 접점에서 갈라져 일부만 $R_2$로 가기 때문이다. 직렬은 "같은 전류가 차례로 통과"할 때만 성립한다.

예제 3 풀이 (b)(c): 병렬 가지의 전류

이제 거꾸로 풀어 나간다. 병렬 조합 $R_{23}$에는 전체 전류 $i_1 = 0.30$ A가 흐르므로, 그 양단의 전위차는:

$$V_{23} = i_1 R_{23} = (0.30)(12) = 3.6\ \mathrm{V}$$

병렬이므로 $R_2$, $R_3$ 각각에 같은 3.6 V가 걸린다:

$$i_2 = \frac{V_{23}}{R_2} = \frac{3.6}{20} = 0.18\ \mathrm{A}, \qquad i_3 = \frac{V_{23}}{R_3} = \frac{3.6}{30} = 0.12\ \mathrm{A}$$

검산 (접점 법칙): $i_2 + i_3 = 0.18 + 0.12 = 0.30\ \mathrm{A} = i_1$ ✓

저항이 작은 가지($R_2$)로 더 많은 전류가 흐른다.

예제 4: 다중 루프 회로와 연립방정식

등가 저항으로 단순화할 수 없는 회로도 있다. 그때는 정공법 — 키르히호프 법칙으로 연립방정식을 세운다.

$$\mathcal{E}_1 = 12\ \mathrm{V},\ \ \mathcal{E}_2 = 10\ \mathrm{V},\ \ R_1 = 4.0\ \Omega,\ \ R_2 = 2.0\ \Omega,\ \ R_3 = 4.0\ \Omega$$

세 가지의 전류 $i_1$, $i_2$, $i_3$의 크기와 방향을 구하라. (그림의 화살표는 가정한 방향)

예제 4: 방정식 세우기

접점 법칙 — 접점 $a$에서 ($i_1$은 들어오고 $i_2$, $i_3$는 나간다):

$$i_1 = i_2 + i_3 \tag{1}$$

루프 1 (왼쪽 루프, $b$에서 시계 방향: 왼쪽 가지 ↑ → 가운데 가지 ↓):

$$+\mathcal{E}_1 - i_1 R_1 - i_3 R_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 12 - 4.0\,i_1 - 4.0\,i_3 = 0 \tag{2}$$

루프 2 (오른쪽 루프, $b$에서 시계 방향: 가운데 가지 ↑ → 오른쪽 가지 ↓):

$$+i_3 R_3 - i_2 R_2 - \mathcal{E}_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4.0\,i_3 - 2.0\,i_2 - 10 = 0 \tag{3}$$

• 가운데 가지를 거슬러 오르면($i_3$ 반대 방향) 전위가 $+i_3R_3$만큼 오른다
• 전지 2는 + 단자가 위이므로, 아래로 내려가며 지나면 $-\mathcal{E}_2$

예제 4: 연립방정식 풀기

식 (1)을 식 (2)에 대입하면 ($i_1 = i_2 + i_3$):

$$12 - 4.0(i_2 + i_3) - 4.0\,i_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad i_2 + 2i_3 = 3.0 \tag{2'}$$

식 (3)을 정리하면:

$$2i_3 - i_2 = 5.0 \tag{3'}$$

(2')와 (3')를 더하면 $i_2$가 소거된다:

$$4i_3 = 8.0 \quad\Rightarrow\quad i_3 = 2.0\ \mathrm{A}$$

거꾸로 대입: $i_2 = 2(2.0) - 5.0 = -1.0\ \mathrm{A}$, $\quad i_1 = i_2 + i_3 = 1.0\ \mathrm{A}$

예제 4: 검산과 해석

검산 — 세 식에 모두 넣어 본다:

• 접점: $1.0 = (-1.0) + 2.0$ ✓
• 루프 1: $12 - 4.0(1.0) - 4.0(2.0) = 12 - 4 - 8 = 0$ ✓
• 루프 2: $4.0(2.0) - 2.0(-1.0) - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$ ✓

해석 :

• $i_1 = 1.0$ A, $i_3 = 2.0$ A: 가정한 방향 그대로
• $i_2 = -1.0$ A: 음수 — 실제 전류는 가정과 반대로, 오른쪽 가지에서 위로 1.0 A
• 결국 두 전지가 모두 가운데 저항 $R_3$에 전류를 보내고 있다: $1.0 + 1.0 = 2.0$ A

방향 교정은 모든 전류를 다 구한 다음 마지막에 하라. 계산 도중에 바꾸면 부호가 꼬인다.

쉬어가기: 전기뱀장어의 회로

남미의 전기뱀장어는 전기판(electroplaque) 이라는 생체 기전력 세포를 갖고 있다.

• 세포 하나: $\mathcal{E} = 0.15$ V, $r = 0.25\ \Omega$ — 아주 약하다
• 한 줄에 5000개 직렬 : $\mathcal{E}_{\text{row}} = 5000 \times 0.15 = 750\ \mathrm{V}$!
• 이런 줄이 140개 병렬 : 내부 저항이 $1250/140 \approx 8.9\ \Omega$까지 낮아진다

직렬로 전압을 키우고 병렬로 내부 저항을 줄이는, 교과서적인 회로 설계다. 주변 물로 약 1 A의 전류를 흘려 먹잇감을 기절시키지만, 각 줄에는 전체의 1/140만 흐르므로 자신은 안전하다.

27.3 전류계와 전압계

전류는 직렬로, 전압은 병렬로

• 전류계(ammeter) : 잴 전류가 계기를 직접 통과 해야 하므로 회로를 끊고 직렬 로 삽입
  • 조건: $R_A \ll$ 회로 저항 — 안 그러면 계기가 전류를 바꿔 버린다
• 전압계(voltmeter) : 두 점 사이에 병렬 로 연결
  • 조건: $R_V \gg$ 측정 대상 저항 — 안 그러면 전류가 계기로 새서 전위차가 바뀐다

멀티미터

실험실에서 쓰는 멀티미터(multimeter) 는 스위치로 전류계·전압계·저항계(ohmmeter)를 전환하는 만능 계측기다. 물리 실험 시간에 반드시 만나게 된다.

27.4 RC 회로

시간에 따라 변하는 전류

지금까지의 회로에서는 전류가 시간에 대해 일정했다. 저항 $R$에 축전기(capacitor) $C$를 더하면 상황이 달라진다 — 전류가 시간에 따라 변한다.

• 스위치를 $a$에 붙이면: 전지가 축전기를 충전 — $\mathcal{E}$–$R$–$C$ 루프
• 스위치를 $b$에 붙이면: 축전기가 저항을 통해 방전 — $R$–$C$ 루프

충전 회로의 미분방정식

처음에 축전기는 비어 있다 ($q = 0$). $t = 0$에 스위치를 $a$에 붙이고, 루프 법칙을 시계 방향으로 적용하면:

$$\mathcal{E} - iR - \frac{q}{C} = 0$$

마지막 항은 축전기 양단의 전위차 $V_C = q/C$ — 위쪽 판(+)에서 아래쪽 판(−)으로 내려가므로 음의 부호다.

미지수가 $i$와 $q$ 두 개지만, 둘은 독립이 아니다:

$$i = \frac{dq}{dt}$$

대입하고 정리하면 $q(t)$에 대한 미분방정식 을 얻는다:

$$\boxed{R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = \mathcal{E}} \qquad (\text{충전 방정식})$$

충전 방정식 풀기 1: 일반해

양변을 $R$로 나누면:

$$\frac{dq}{dt} + \frac{q}{RC} = \frac{\mathcal{E}}{R}$$

이런 1차 선형 미분방정식의 일반해는 (특수해) + (지수적으로 사라지는 항)의 꼴이다:

$$q = q_p + Ke^{-at}, \qquad a = \frac{1}{RC}$$

특수해 $q_p$ 찾기 : 충전이 끝난 후에는 더 이상 변화가 없으므로 $dq/dt = 0$으로 놓으면

$$\frac{q_p}{RC} = \frac{\mathcal{E}}{R} \quad\Rightarrow\quad q_p = C\mathcal{E}$$

이것이 최종(평형) 전하다 — $q = CV$에서 $V_C = \mathcal{E}$가 될 때의 값.

충전 방정식 풀기 2: 초기 조건

일반해에 $q_p = C\mathcal{E}$를 넣으면:

$$q = C\mathcal{E} + Ke^{-t/RC}$$

초기 조건 : $t = 0$에서 $q = 0$이어야 하므로

$$0 = C\mathcal{E} + K \quad\Rightarrow\quad K = -C\mathcal{E}$$

따라서:

$$q = C\mathcal{E} - C\mathcal{E}\,e^{-t/RC}$$

$$\boxed{q(t) = C\mathcal{E}\left(1 - e^{-t/RC}\right)} \qquad (\text{충전})$$

검사: $t = 0$이면 $q = 0$ ✓, $t \to \infty$이면 $q \to C\mathcal{E}$ ✓

충전 전류와 축전기 전압

$q(t)$를 미분하면 충전 전류가 나온다:

$$\boxed{i = \frac{dq}{dt} = \frac{\mathcal{E}}{R}\,e^{-t/RC}} \qquad (\text{충전})$$

축전기 양단의 전위차는:

$$V_C = \frac{q}{C} = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

극한에서의 행동을 보면 축전기의 성격이 드러난다:

• $t = 0$: $i = \mathcal{E}/R$ (최대), $V_C = 0$ → 갓 충전을 시작한 축전기는 그냥 도선 처럼 행동
• $t \to \infty$: $i \to 0$, $V_C \to \mathcal{E}$ → 완전히 충전된 축전기는 끊어진 도선 처럼 행동

충전 곡선

• 전하는 0에서 $C\mathcal{E}$를 향해 포화 곡선으로 증가
• 전류는 $\mathcal{E}/R$에서 시작해 지수적으로 감소 — 축전기가 찰수록 전류가 죽는다

시간 상수 τ = RC

지수 함수의 인자는 무차원이어야 하므로 $RC$는 시간의 차원을 갖는다. 실제로:

$$1\ \Omega \times 1\ \mathrm{F} = \frac{1\ \mathrm{V}}{1\ \mathrm{A}} \times \frac{1\ \mathrm{C}}{1\ \mathrm{V}} = \frac{1\ \mathrm{C}}{1\ \mathrm{C/s}} = 1\ \mathrm{s}$$

$$\boxed{\tau = RC} \qquad (\text{용량성 시간 상수})$$

$t = \tau$일 때 충전 전하는:

$$q = C\mathcal{E}\left(1 - e^{-1}\right) = 0.63\,C\mathcal{E}$$

• 한 시간 상수 동안 최종값의 63% 까지 충전된다
• $\tau$가 크면 (큰 $R$, 큰 $C$) 충전이 느리다: $\tau = 1\ \mu\mathrm{s}$짜리는 순식간에, $\tau = 100$ s짜리는 천천히

축전기의 방전

완전히 충전된 축전기($q_0 = CV_0$)에서 스위치를 $b$로 옮기면, 전지가 빠진 $R$–$C$ 루프가 된다. 충전 방정식에서 $\mathcal{E} = 0$으로 놓으면:

$$R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

변수를 분리해서 풀 수 있다:

$$\frac{dq}{q} = -\frac{dt}{RC}$$

양변을 적분하면 ($t=0$에서 $q=q_0$):

$$\ln\frac{q}{q_0} = -\frac{t}{RC}$$

$$\boxed{q(t) = q_0\,e^{-t/RC}} \qquad (\text{방전})$$

방전 전류

방전 전하를 미분하면:

$$\boxed{i = \frac{dq}{dt} = -\frac{q_0}{RC}\,e^{-t/RC}} \qquad (\text{방전})$$

• 음의 부호: 전하가 줄어드는 중 이고, 전류가 충전 때와 반대 방향이라는 뜻
• 초기 전류의 크기는 $i_0 = q_0/RC = V_0/R$ — 루프 법칙으로도 바로 확인된다 ($t=0$에 축전기 전압 $V_0$가 그대로 $R$에 걸리므로)
• $t = \tau$일 때 남은 전하: $q = q_0 e^{-1} = 0.37\,q_0$ — 처음의 37%

충전이든 방전이든, 변화의 빠르기는 오직 $\tau = RC$가 결정한다.

예제 5: RC 회로의 수치 계산

$\mathcal{E} = 10$ V, $R = 2.0\ \mathrm{k\Omega}$, $C = 500\ \mu\mathrm{F}$인 충전 회로에서 (a) 시간 상수, (b) 최종 전하, (c) 초기 전류, (d) 전하가 최종값의 절반이 되는 시간을 구하라.

(a) $\tau = RC = (2.0 \times 10^3)(500 \times 10^{-6}) = 1.0\ \mathrm{s}$

(b) $q_{\text{max}} = C\mathcal{E} = (500 \times 10^{-6})(10) = 5.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{C} = 5.0\ \mathrm{mC}$

(c) $i_0 = \mathcal{E}/R = 10/(2.0 \times 10^3) = 5.0\ \mathrm{mA}$

(d) $\frac{1}{2} = 1 - e^{-t/\tau}$에서 $e^{-t/\tau} = \frac{1}{2}$. 양변에 자연로그를 취하면:

$$t = \tau\ln 2 = (1.0)(0.693) \approx 0.69\ \mathrm{s}$$

절반까지는 $0.69\tau$ — 63%가 되는 $\tau$보다 짧다.

RC 회로는 어디에 쓰일까

"저항으로 충전 속도를 조절하고, 축전기에 모았다가 한 번에 쓴다."

• 카메라 플래시 : 축전기를 천천히 충전한 뒤 순간적으로 방전 — 작은 전지로 밝은 섬광
• 자동차 와이퍼 간헐 모드 : $\tau$를 바꿔 와이퍼가 움직이는 시간 간격을 조절
• 심장 제세동기 : 수천 볼트로 충전한 축전기를 심장에 순간 방전
• 신호등·경고등의 점멸, 전자회로의 타이머 칩

시간 상수 $\tau = RC$가 이 모든 장치의 "박자"를 정한다.

Review & Summary

핵심 개념

• 기전력 장치 는 전하를 저전위에서 고전위로 퍼올려 전위차를 유지한다: $\mathcal{E} = dW/dq$
• 루프 법칙 : 닫힌 루프의 전위 변화 합 = 0 (에너지 보존)
• 접점 법칙 : 들어온 전류 = 나간 전류 (전하 보존)
• 실제 전지의 단자 전압은 $V = \mathcal{E} - ir$ — 방전 중에는 기전력보다 낮다
• 직렬 은 같은 전류, 병렬 은 같은 전위차
• 전류계는 직렬($R_A \approx 0$), 전압계는 병렬($R_V \approx \infty$)
• RC 회로의 충전·방전은 시간 상수 $\tau = RC$가 지배하는 지수함수 변화다

핵심 공식

기억할 것:

• 저항 법칙: 전류 방향으로 $-iR$, 반대로 $+iR$ / 기전력 법칙: 화살표 방향으로 $+\mathcal{E}$, 반대로 $-\mathcal{E}$
• 전류가 음수로 나오면 실제 방향이 가정과 반대 — 교정은 맨 마지막에
• $t = \tau$: 충전은 63%까지, 방전은 37%까지