25장: 전기용량

Capacitance

이번 장에서 배울 내용

지금까지 전하가 만드는 전기장(electric field) 과 전위(electric potential) 를 배웠다. 이번 장에서는 이 도구들을 처음으로 실용적인 장치 에 적용한다. 바로 축전기(capacitor) 다.

• 축전기는 전하와 전기 에너지를 저장하는 장치 다
• 전기용량이란 무엇이고, 어떻게 계산하는가 (가우스 법칙 + 전위 적분)
• 축전기 여러 개를 연결하면? (병렬·직렬)
• 저장된 에너지는 어디에 있는가 → 전기장 자체가 에너지를 담는다
• 판 사이에 절연 물질(유전체)을 넣으면 무슨 일이 생기는가

축전기는 어디에나 있다

• 카메라 플래시 : 배터리가 못 내는 순간적인 큰 출력을 축전기가 대신 낸다
• 심장 제세동기(defibrillator) : 축전기에 저장한 에너지로 심장에 전기 충격
• 스마트폰 터치스크린 : 손가락이 닿으면 그 지점의 전기용량이 변한다
• DRAM 메모리 : 비트 하나하나가 아주 작은 축전기 — 전하가 있으면 1, 없으면 0

다양한 크기와 모양의 축전기들. 모두 같은 원리로 작동한다.

이번 장의 세 가지 핵심 결론

1. 전기용량(capacitance) : 축전기의 전하와 전위차는 비례한다 $$q = CV$$
2. 전기용량은 기하학이 결정한다 : 판의 모양·크기·간격만으로 정해진다 $$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \;\;(\text{평행판})$$
3. 에너지는 전기장에 저장된다 : 단위 부피당 에너지는 $$u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$

25.1 전기용량

축전기란 무엇인가

축전기(capacitor) 는 서로 절연된 두 도체 로 이루어진 장치다. 두 도체를 판(plate) 이라 부른다.

• 충전되면 두 판은 크기가 같고 부호가 반대인 전하 $+q$, $-q$를 갖는다
• 판의 모양은 아무래도 좋다 — 평평하지 않아도 두 도체면 축전기다

"축전기의 전하가 $q$"라는 말은 한 판에 있는 전하의 크기 를 뜻한다. 두 판을 합친 알짜 전하는 0이다.

전하와 전위차는 비례한다

판은 도체이므로 각 판 전체가 등전위면(equipotential surface) 이다. 두 판 사이에는 전위차가 있고, 이를 (24장의 $\Delta V$ 대신) 관례적으로 $V$로 쓴다.

축전기의 전하 $q$와 전위차 $V$는 서로 비례한다:

$$\boxed{q = CV}$$

• 비례 상수 $C$가 전기용량(capacitance) 이다
• $C$는 판의 기하학적 구조 (모양, 크기, 간격)에만 의존하고, $q$나 $V$에는 의존하지 않는다
• 같은 전위차 $V$에서 $C$가 클수록 더 많은 전하를 저장한다 — "전하를 담는 그릇의 크기"

전기용량의 단위: 패럿

$$1\ \text{패럿(farad)} = 1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C/V}$$

전자기 연구의 선구자 마이클 패러데이(Michael Faraday)의 이름을 땄다.

• 1 F는 엄청나게 큰 단위다. 실제 회로에서는 보조 단위를 쓴다:
  • 마이크로패럿 $1\ \mu\mathrm{F} = 10^{-6}$ F
  • 피코패럿 $1\ \mathrm{pF} = 10^{-12}$ F
• 전자회로 기판의 축전기는 대부분 pF ~ μF 수준
• 예외적으로 슈퍼커패시터(supercapacitor) 는 수천 F까지 가능 (단, 낮은 전압에서만)

축전기의 충전

축전기를 충전하는 가장 간단한 방법: 배터리 가 있는 회로에 넣는 것.

• 배터리는 내부 화학 반응으로 두 단자 사이의 전위차 $V$를 유지하는 장치
• 스위치를 닫으면 배터리가 도선에 만드는 전기장이 전도 전자를 민다
• $h$판의 전자는 $+$단자 쪽으로 빠져나가고 ($h$판은 $+q$), $-$단자에서 나온 전자는 $l$판에 쌓인다 ($-q$)

충전은 언제 멈추는가

전하가 쌓일수록 판 사이의 전위차가 커진다.

• 처음: 판이 중성, 판 사이 전위차 0
• 충전 중: 판의 전하 $\pm q$ 증가 → 전위차 증가
• 판의 전위차가 배터리의 전위차 $V$와 같아지면 → 도선에 알짜 전기장이 사라져 전자 이동이 멈춘다

이 상태를 완전히 충전(fully charged) 되었다고 하며, 이때 $q = CV$가 성립한다.

스위치를 다시 열어도 전하는 갈 곳이 없으므로 (이상적으로는) 계속 저장된다. 축전기를 전하 저장 장치라 부르는 이유다.

25.2 전기용량 계산하기

계산 전략: 네 단계

어떤 모양의 축전기든 전기용량은 똑같은 순서로 구한다.

1. 판에 전하 $\pm q$가 있다고 가정 한다
2. 가우스 법칙 으로 판 사이의 전기장 $\vec{E}$를 구한다
3. $\vec{E}$를 경로 적분하여 판 사이의 전위차 $V$를 구한다
4. $C = q/V$로 전기용량을 얻는다

마지막에 $C$는 반드시 $q$가 약분되어 사라지고 기하학적 양들만 남는다. 그래야 "전기용량은 기하가 결정한다"는 말과 맞는다.

두 가지 도구

도구 1 — 가우스 법칙 (23장) : 양(+)판의 전하를 둘러싸는 가우스면을 잡는다. 플럭스가 통과하는 면에서 $\vec{E}$가 균일하고 면에 수직이 되도록 잡으면:

$$\varepsilon_0 \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = q \quad\Rightarrow\quad q = \varepsilon_0 E A$$

도구 2 — 전위차 (24장) : $V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s}$. 경로를 음(−)판에서 양(+)판으로, 전기력선을 거슬러 가도록 잡으면 $\vec{E}\cdot d\vec{s} = -E\,ds$가 되어:

$$V \equiv V_+ - V_- = \int_-^+ E\, ds$$

적분 기호의 $-$, $+$는 경로의 시작(음판)과 끝(양판)을 뜻한다.

평행판 축전기

가장 기본적인 축전기: 면적 $A$인 두 판이 간격 $d$로 마주 본다.

판이 충분히 크고 서로 가깝다면 ($d \ll \sqrt{A}$), 가장자리에서 장이 휘는 가장자리 효과(fringing) 를 무시할 수 있다. 그러면 판 사이의 $\vec{E}$는 어디서나 균일하다.

평행판: 전기장 구하기

윗판($+q$)을 둘러싸는 납작한 상자 모양 가우스면을 잡는다.

• 전기장은 판 사이 영역에만 있고, 가우스면의 아랫면 만 통과한다
• 아랫면에서 $\vec{E}$는 균일하고 면에 수직

$$q = \varepsilon_0 E A$$

즉 $E = q/\varepsilon_0 A$. 이는 23장에서 배운 도체 표면의 장 $E = \sigma/\varepsilon_0$ (여기서 $\sigma = q/A$)와 같은 결과다.

평행판: 전위차와 전기용량

음(−)판에서 양(+)판으로 곧장 올라가는 경로로 적분한다. $E$가 상수이므로:

$$V = \int_-^+ E\, ds = E\int_0^d ds = Ed$$

이제 $q = \varepsilon_0 EA$와 $V = Ed$를 정의 $q = CV$에 넣으면:

$$C = \frac{q}{V} = \frac{\varepsilon_0 E A}{E d}$$

$$\boxed{C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}} \qquad (\text{평행판 축전기})$$

$E$와 $q$가 모두 사라지고 기하학적 양 $A$, $d$만 남았다.

$C = \varepsilon_0 A/d$ 읽기

• 판 면적 $A$가 클수록 $C$ 증가 — 전하를 얹을 자리가 넓다
• 판 간격 $d$가 작을수록 $C$ 증가 — 반대 전하가 가까이서 서로를 붙잡는다
• 쿨롱 법칙의 상수를 $k$ 대신 $1/4\pi\varepsilon_0$로 쓴 이유 중 하나: 실용적인 이 공식이 깔끔해진다

$\varepsilon_0$를 축전기에 어울리는 단위로 다시 쓰면:

$$\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m} = 8.85\ \mathrm{pF/m}$$

수치 감각: $A = 1\ \mathrm{cm^2}$, $d = 1$ mm면 $C \approx 0.9$ pF. 일상 크기의 평행판으로는 pF 수준이 고작이다.

예제: 평행판 축전기

판 면적 $A = 25\ \mathrm{cm^2}$, 간격 $d = 1.0$ mm인 평행판 축전기를 600 V 전원에 연결했다. $C$, $q$, $E$를 구하라.

단위 변환: $A = 25\times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$, $d = 1.0\times 10^{-3}$ m.

$$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{(8.85\times 10^{-12})(25\times 10^{-4})}{1.0\times 10^{-3}} \approx 22\ \mathrm{pF}$$

$$q = CV = (22\times 10^{-12})(600) \approx 1.3\times 10^{-8}\ \mathrm{C} = 13\ \mathrm{nC}$$

$$E = \frac{V}{d} = \frac{600}{1.0\times 10^{-3}} = 6.0\times 10^{5}\ \mathrm{V/m}$$

공기의 절연 내력($\approx 3\times 10^6$ V/m)보다 작으므로 스파크 없이 버틴다.

원통형 축전기

길이 $L$, 반지름 $a$인 안쪽 도체($+q$)와 반지름 $b$인 바깥 원통($-q$)이 동축으로 놓여 있다. $L \gg b$이면 끝부분의 fringing을 무시할 수 있다. 동축 케이블이 바로 이 구조다.

원통형: 전기장 구하기

반지름 $r$ ($a < r < b$), 길이 $L$인 동축 원통을 가우스면으로 잡는다.

• 대칭에 의해 $\vec{E}$는 지름 방향, 크기는 옆면 위에서 일정
• 플럭스는 옆면(넓이 $2\pi r L$)으로만 나간다 (양 끝 뚜껑에는 플럭스 없음)

$$q = \varepsilon_0 E A = \varepsilon_0 E (2\pi r L)$$

$$E = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L r}$$

장이 $1/r$로 감소한다 — 23장의 선전하 결과와 같은 모양이다.

원통형: 전위차와 전기용량

음(바깥)판에서 양(안쪽)판으로, 반지름을 따라 안쪽으로 들어가는 경로를 잡는다. 이때 $ds = -dr$이므로:

$$V = \int_-^+ E\, ds = -\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L}\int_b^a \frac{dr}{r} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\frac{b}{a}$$

$C = q/V$에서 $q$가 약분되고:

$$\boxed{C = 2\pi\varepsilon_0 \frac{L}{\ln(b/a)}} \qquad (\text{원통형 축전기})$$

길이 $L$과 반지름 비 $b/a$ — 역시 기하학만 남는다.

구형 축전기

반지름 $a$($+q$), $b$($-q$)인 동심 구 껍질 두 개. 반지름 $r$인 구를 가우스면으로 잡으면 (넓이 $4\pi r^2$):

$$q = \varepsilon_0 E (4\pi r^2) \quad\Rightarrow\quad E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

껍질 정리 그대로 — 안쪽 구가 점전하처럼 보인다.

구형: 전위차와 전기용량

같은 방식으로 바깥(−)에서 안쪽(+)으로 적분한다 ($ds = -dr$):

$$V = \int_-^+ E\, ds = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_b^a \frac{dr}{r^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{b-a}{ab}$$

$$\boxed{C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{ab}{b-a}} \qquad (\text{구형 축전기})$$

간격 $b-a$가 좁을수록 $C$가 커진다 — 평행판의 $d$와 같은 역할이다.

고립된 구의 전기용량

도체 구 하나 에도 전기용량을 정의할 수 있다. "없어진 반대쪽 판"을 반지름 무한대의 구라고 생각하면 된다 (전기력선은 결국 어딘가에서 끝난다).

구형 축전기 공식을 다시 쓰고 $b \to \infty$, $a \to R$:

$$C = 4\pi\varepsilon_0\frac{a}{1 - a/b} \;\;\xrightarrow{\;b\to\infty\;}\;\; \boxed{C = 4\pi\varepsilon_0 R}$$

• 지구 전체($R = 6.4\times 10^6$ m)의 전기용량: $C \approx 7\times 10^{-4}$ F — 겨우 0.7 mF!
• $C = 1$ F인 도체 구의 반지름은 $R = 9\times 10^9$ m, 태양 반지름의 약 13배. 1 F가 얼마나 큰 단위인지 알 수 있다.

네 가지 결과의 공통 구조

모두 다음 꼴이다:

$$C = \varepsilon_0 \times (\text{길이 차원의 기하학적 양})$$

전기용량에 $q$도 $V$도 등장하지 않는다. 축전기를 만들면 그 순간 $C$는 정해진다.

개념 확인

배터리에 연결된 채로 ($V$ 일정) 다음과 같이 바꾸면, 저장된 전하 $q = CV$는 어떻게 되는가?

1. 평행판의 간격 $d$를 늘리면 ? → $C = \varepsilon_0 A/d$ 감소 → $q$ 감소
2. 원통형의 안쪽 반지름 $a$를 키우면 ? → $\ln(b/a)$ 감소 → $C$ 증가 → $q$ 증가
3. 구형의 바깥 반지름 $b$를 키우면 ? → $\dfrac{ab}{b-a} = \dfrac{a}{1-a/b}$ 감소 → $C$ 감소 → $q$ 감소

간격이 좁아질수록, 두 판이 가까워질수록 전기용량은 커진다.

25.3 병렬 연결과 직렬 연결

등가 축전기

회로에 축전기가 여러 개 있으면, 조합 전체를 등가 축전기(equivalent capacitor) 하나로 바꿔 생각할 수 있다.

• 등가 축전기: 실제 조합과 같은 전하 $q$와 같은 전위차 $V$ 를 갖는 가상의 축전기 하나
• 복잡한 회로를 단계적으로 단순화하는 강력한 도구

기본 조합은 두 가지뿐이다: 병렬(parallel) 과 직렬(series). 이 둘만 정확히 구분하면 대부분의 회로를 풀 수 있다.

병렬 연결: 같은 V

병렬 : 한쪽 판들끼리 직접 연결되고, 반대쪽 판들끼리도 직접 연결된 상태. 그 양단에 전위차 $V$를 걸면 각 축전기에 똑같은 $V$ 가 걸린다. (기억법: "par-V")

병렬: 등가용량 유도

각 축전기의 전하는 $q = CV$에서:

$$q_1 = C_1 V, \qquad q_2 = C_2 V, \qquad q_3 = C_3 V$$

조합 전체에 저장된 총 전하:

$$q = q_1 + q_2 + q_3 = (C_1 + C_2 + C_3)V$$

같은 $q$, $V$를 갖는 등가 축전기의 전기용량은:

$$C_{\text{eq}} = \frac{q}{V} = C_1 + C_2 + C_3 \quad\Rightarrow\quad \boxed{C_{\text{eq}} = \sum_{j=1}^{n} C_j}$$

병렬 연결은 사실상 판 면적을 합치는 것 이다. $C_{\text{eq}}$는 항상 가장 큰 $C_j$보다 크다.

직렬 연결: 같은 q

직렬 : 축전기들이 한 줄로 이어져 있고, 그 줄의 양 끝에 전위차 $V$가 걸린 상태. 이때 각 축전기에 똑같은 전하 $q$ 가 저장된다. (기억법: "seri-q")

직렬: 왜 전하가 모두 같은가

배터리가 직접 대전시키는 것은 줄의 양 끝 판 두 장뿐 이다.

• 배터리가 맨 아래 판에 $-q$를 놓으면, 그 판이 같은 축전기의 반대 판 전자를 밀어내 $+q$로 만든다
• 밀려난 전자는 도선을 타고 이웃 축전기의 판으로 가 $-q$를 만든다 → 연쇄 반응
• 중간의 "판 두 장 + 도선" 구간은 전기적으로 고립 되어 있어 알짜 전하가 0으로 유지된다: 한쪽이 $+q$면 반대쪽은 정확히 $-q$

주의: 전하가 이동할 경로가 하나뿐 이어야 직렬이다. 중간에 갈림길이 있으면 직렬이 아니다.

직렬: 등가용량 유도

각 축전기의 전위차는 $V = q/C$에서:

$$V_1 = \frac{q}{C_1}, \qquad V_2 = \frac{q}{C_2}, \qquad V_3 = \frac{q}{C_3}$$

전체 전위차는 각 전위차의 합:

$$V = V_1 + V_2 + V_3 = q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\right)$$

$$C_{\text{eq}} = \frac{q}{V} = \frac{1}{1/C_1 + 1/C_2 + 1/C_3} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{C_j}}$$

직렬의 $C_{\text{eq}}$는 항상 가장 작은 $C_j$보다도 작다.

병렬 vs 직렬 정리

판별 요령: 두 축전기 사이에서 이동하는 전하가 한 길로만 갈 수 있으면 직렬, 두 판이 직접 도선으로 묶여 같은 전위차를 공유하면 병렬.

예제: 병렬 + 직렬 조합 (1)

$C_1 = 12.0\ \mu$F와 $C_2 = 5.30\ \mu$F는 서로 병렬 로 묶여 있고, 이 조합이 $C_3 = 4.50\ \mu$F와 직렬 로 배터리($V = 12.5$ V)에 연결되어 있다. 등가용량을 구하라.

1단계 — 병렬 부분 ($C_1$, $C_2$):

$$C_{12} = C_1 + C_2 = 12.0 + 5.30 = 17.3\ \mu\mathrm{F}$$

2단계 — $C_{12}$와 $C_3$의 직렬:

$$\frac{1}{C_{123}} = \frac{1}{17.3} + \frac{1}{4.50} = 0.280\ \mu\mathrm{F}^{-1}$$

$$\boxed{C_{123} = 3.57\ \mu\mathrm{F}}$$

예제: 병렬 + 직렬 조합 (2)

같은 회로에서 $C_1$에 저장된 전하 $q_1$은? — 등가에서 거꾸로 되짚어 간다.

전체 전하 ($V = 12.5$ V가 등가 축전기에 걸림):

$$q_{123} = C_{123}V = (3.57\ \mu\mathrm{F})(12.5\ \mathrm{V}) = 44.6\ \mu\mathrm{C}$$

직렬은 같은 $q$ (seri-q) → $q_{12} = q_3 = 44.6\ \mu$C. 병렬 조합의 전위차:

$$V_{12} = \frac{q_{12}}{C_{12}} = \frac{44.6\ \mu\mathrm{C}}{17.3\ \mu\mathrm{F}} = 2.58\ \mathrm{V}$$

병렬은 같은 $V$ (par-V) → $V_1 = 2.58$ V:

$$\boxed{q_1 = C_1 V_1 = (12.0\ \mu\mathrm{F})(2.58\ \mathrm{V}) = 31.0\ \mu\mathrm{C}}$$

검산: $V_3 = 44.6/4.50 = 9.92$ V이고 $V_{12} + V_3 = 2.58 + 9.92 = 12.5$ V ✓

예제: 축전기가 축전기를 충전한다 (1)

$C_1 = 3.55\ \mu$F를 $V_0 = 6.30$ V로 충전한 뒤 배터리를 제거 하고, 충전 안 된 $C_2 = 8.95\ \mu$F에 연결했다. 평형에 도달하면 각 축전기의 전하는?

주의: 이 상황은 직렬도 병렬도 아니다. 배터리가 없고, 이미 있던 전하가 재분배될 뿐이다.

• 처음 전하: $q_0 = C_1 V_0 = (3.55\ \mu\mathrm{F})(6.30\ \mathrm{V}) = 22.4\ \mu\mathrm{C}$
• 스위치를 닫으면 $C_1$의 전하 일부가 $C_2$로 흘러간다
• 흐름이 멈추는 조건: 두 축전기의 전위차가 같아질 때

$$V_1 = V_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2}$$

예제: 축전기가 축전기를 충전한다 (2)

전하 보존 : 전하는 마법처럼 사라지지 않는다.

$$q_1 + q_2 = q_0$$

두 식을 연립하면 ($q_2 = q_0 - q_1$ 대입):

$$\frac{q_1}{C_1} = \frac{q_0 - q_1}{C_2} \quad\Rightarrow\quad q_1 = q_0\frac{C_1}{C_1 + C_2} = (22.4)\frac{3.55}{12.50}$$

$$\boxed{q_1 \approx 6.35\ \mu\mathrm{C}, \qquad q_2 = q_0 - q_1 \approx 16.0\ \mu\mathrm{C}}$$

공통 전위차는 $V = q_1/C_1 = 6.35/3.55 = 1.79$ V. 검산: $q_2/C_2 = 16.0/8.95 = 1.79$ V ✓

전하는 전기용량에 비례해서 나뉜다 — 큰 그릇이 더 많이 가져간다.

25.4 전기장에 저장된 에너지

축전기를 충전하려면 일이 필요하다

전하를 한 판에서 다른 판으로 옮기는 과정을 상상하자.

• 처음에는 판이 중성이라 전하를 옮기는 데 일이 들지 않는다
• 전하가 쌓일수록, 이미 쌓인 전하가 새로 오는 전하를 밀어낸다
• 전하가 많아질수록 옮기는 데 점점 더 큰 일이 필요하다

실제로는 배터리가 화학 에너지를 소모하며 이 일을 해 준다. 그 일은 어디로 갔을까? — 축전기에 전기 퍼텐셜 에너지 $U$ 로 저장되고, 방전시키면 되찾을 수 있다.

유도: $U = q^2/2C$

충전 도중 어느 순간, 이미 옮겨진 전하가 $q'$이라 하자. 그 순간 판 사이 전위차는 $V' = q'/C$이다.

여기서 전하 $dq'$을 추가로 옮기는 데 필요한 일은 (24장: $dW = V\,dq$):

$$dW = V'\, dq' = \frac{q'}{C}\, dq'$$

전하 0에서 최종 전하 $q$까지 쌓는 전체 일:

$$W = \int dW = \frac{1}{C}\int_0^q q'\, dq' = \frac{q^2}{2C}$$

이 일이 퍼텐셜 에너지로 저장된다. $q = CV$를 대입한 형태와 함께:

$$\boxed{U = \frac{q^2}{2C} = \tfrac{1}{2}CV^2}$$

축전기의 모양과 무관하게 성립한다.

에너지는 어디에 있는가

사고 실험: 같은 전하 $q$를 가진 두 평행판 축전기, 단 하나는 간격이 2배.

• 간격 2배 → 판 사이 부피 2배, $C$는 절반 → $U = q^2/2C$는 2배
• 그런데 전기장은 $E = q/\varepsilon_0 A$로 둘이 똑같다
• 장은 같은데 장이 차지하는 부피가 2배인 쪽이 에너지도 2배

→ 에너지가 전기장이 차지하는 공간 에 비례해 저장된다고 보는 것이 자연스럽다.

에너지 밀도: $u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

평행판 사이에서는 장이 균일하므로, 단위 부피당 에너지인 에너지 밀도(energy density) $u$도 균일하다. 판 사이 부피는 $Ad$:

$$u = \frac{U}{Ad} = \frac{CV^2}{2Ad} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{V^2}{2Ad} = \frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{V}{d}\right)^2$$

그런데 $V/d$는 바로 전기장의 크기 $E$이다:

$$\boxed{u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2} \qquad (\text{에너지 밀도})$$

평행판으로 유도했지만 이 결과는 모든 전기장에 대해 일반적으로 성립한다. 전기장이 있는 곳이라면 어디든, 그 공간 자체가 에너지를 담고 있다.

예제: 저장 에너지와 에너지 밀도

앞의 평행판 축전기($C = 22$ pF, $V = 600$ V, $A = 25\ \mathrm{cm^2}$, $d = 1.0$ mm)로 돌아가자.

저장된 에너지:

$$U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}(22\times 10^{-12})(600)^2 \approx 4.0\ \mu\mathrm{J}$$

에너지 밀도 ($E = 6.0\times 10^5$ V/m):

$$u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \tfrac{1}{2}(8.85\times 10^{-12})(6.0\times 10^5)^2 \approx 1.6\ \mathrm{J/m^3}$$

검산: 판 사이 부피는 $Ad = (25\times 10^{-4})(1.0\times 10^{-3}) = 2.5\times 10^{-6}\ \mathrm{m^3}$이고

$$U = u\,(Ad) = (1.6)(2.5\times 10^{-6}) \approx 4.0\ \mu\mathrm{J}$$

두 방법이 일치한다 ✓

실생활: 순간적인 큰 출력

축전기의 진짜 장기는 에너지를 아주 짧은 시간에 쏟아내는 것이다.

• 제세동기 : 약 70 μF를 5000 V로 충전 → $U = \tfrac{1}{2}(70\times10^{-6})(5000)^2 \approx 900$ J. 이 중 일부를 수 ms 만에 방출 — 순간 출력이 수십 kW
• 카메라 플래시 : 수백 μF를 ~300 V로 충전 (수 J) → 1 ms 만에 방출
• 배터리는 에너지 총량은 크지만 천천히만 내놓는다. 축전기는 그 반대다

25.5 유전체가 든 축전기

패러데이의 발견

판 사이의 빈 공간을 유전체(dielectric) — 광물성 기름, 플라스틱 같은 절연 물질 — 로 채우면 어떻게 될까?

1837년 패러데이가 실험으로 답했다:

$$\boxed{C = \kappa\, C_{\text{air}}}$$

• 전기용량이 $\kappa$배로 증가 한다
• $\kappa$는 유전 상수(dielectric constant) : 물질마다 정해진 1보다 큰 수
• 실제 축전기의 판 사이에 절연지·세라믹·산화막이 들어 있는 이유: $C$를 키우고, 판 간격을 좁게 유지하면서도 판끼리 닿지 않게 한다

유전 상수와 절연 내력

또 하나의 이점 — 절연 내력(dielectric strength) : 물질이 절연 파괴 없이 견디는 최대 전기장. 공기는 3 kV/mm지만 종이는 16 kV/mm. 유전체를 넣으면 $C$도 커지고 더 높은 전압까지 견딘다. 한계 전압 $V_{\max}$를 넘으면 절연 파괴(breakdown) 로 스파크가 튄다.

유전체 삽입: 두 가지 경우

• 배터리 연결 유지 ($V$ 고정): 유전체를 넣으면 전하가 $q = \kappa q_0$로 증가 — 부족한 전하를 배터리가 공급
• 배터리 분리 ($q$ 고정): 전하는 갈 곳이 없다. 대신 전위차가 $V = V_0/\kappa$로 감소

$q = CV$로 보면 두 관찰 모두 같은 결론이다: $C$가 $\kappa$배로 커졌다.

규칙: $\varepsilon_0 \to \kappa\varepsilon_0$

$q$ 고정 실험에서 $V = Ed$가 $1/\kappa$로 줄었다는 것은, 판 사이 전기장이 $E = E_0/\kappa$로 약해졌다 는 뜻이다. 그래서:

$$C = \frac{q}{V} = \frac{q}{V_0/\kappa} = \kappa\frac{q}{V_0} = \kappa C_0$$

일반화하면:

유전 상수 $\kappa$인 물질로 완전히 채워진 영역에서는, $\varepsilon_0$가 들어가는 모든 정전기 공식에서 $\varepsilon_0$를 $\kappa\varepsilon_0$로 바꾸면 된다.

$$E = \frac{1}{4\pi\kappa\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\ (\text{점전하}), \qquad E = \frac{\sigma}{\kappa\varepsilon_0}\ (\text{도체 표면}), \qquad C = \frac{\kappa\varepsilon_0 A}{d}\ (\text{평행판})$$

고정된 전하가 만드는 장은 유전체 안에서 항상 약해진다.

예제: 유전체 삽입과 에너지

$C = 13.5$ pF인 축전기를 $V = 12.5$ V로 충전한 뒤 배터리를 분리 하고, $\kappa = 6.50$인 자기(porcelain) 판을 판 사이에 끼워 넣었다.

(a) 삽입 전 에너지:

$$U_i = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}(13.5\times 10^{-12})(12.5)^2 \approx 1055\ \mathrm{pJ}$$

(b) 삽입 후: 배터리가 없으므로 $q$는 그대로다. 에너지는 $q$가 든 식으로 쓰는 것이 안전하다. 전기용량이 $\kappa C$가 되므로:

$$U_f = \frac{q^2}{2\kappa C} = \frac{U_i}{\kappa} = \frac{1055\ \mathrm{pJ}}{6.50} \approx \boxed{162\ \mathrm{pJ}}$$

에너지가 $1/\kappa$로 줄었다. 사라진 에너지는 어디로 갔을까?

사라진 에너지의 행방

$$W = U_i - U_f = 1055 - 162 = 893\ \mathrm{pJ}$$

• 이 에너지는 슬라브를 끌어들이는 일 로 쓰였다. 축전기가 유전체를 빨아들인 것이다
• 판 가장자리의 휘어진 장(fringing field)이 슬라브 표면의 유도 전하를 잡아당긴다
• 손으로 슬라브를 붙잡고 천천히 넣는다면, 슬라브가 손을 끌고 가며 그만큼 일을 해 준다
• 마찰 없이 놓아 주면? 슬라브는 가속되어 들어갔다가 반대쪽으로 나오며 왕복 진동 한다 — 총 에너지 893 pJ은 운동 에너지와 장의 에너지 사이를 오간다

$q$ 고정 + $C$ 증가 → $U = q^2/2C$ 감소. 계는 언제나 에너지가 낮아지는 배치를 "선호"한다.

원자 수준에서 보면: 분극

• 극성 유전체(polar dielectric) : 물처럼 분자가 영구 쌍극자 모멘트를 가짐 → 외부 장이 이들을 정렬시킨다 (열운동 때문에 완전하지는 않음)
• 비극성 유전체(nonpolar dielectric) : 영구 쌍극자가 없어도, 외부 장이 분자의 양·음 전하 중심을 살짝 벌려 쌍극자를 유도 한다

두 경우 모두 표면에 유도 전하 $\pm q'$이 생기고, 이들이 만드는 장 $\vec{E}'$이 외부 장 $\vec{E}_0$와 반대여서 내부의 알짜 장이 $E = E_0/\kappa$로 약해진다.

25.6 유전체와 가우스 법칙

유도 전하를 넣어 다시 쓰는 가우스 법칙

유전체가 없을 때 : 가우스면은 $+q$만 둘러싼다.

$$\varepsilon_0\oint\vec{E}\cdot d\vec{A} = \varepsilon_0 E_0 A = q \quad\Rightarrow\quad E_0 = \frac{q}{\varepsilon_0 A}$$

유전체를 채웠을 때 : 같은 가우스면이 판의 자유 전하(free charge) $+q$와 유전체 표면의 유도 전하(induced charge) $-q'$을 함께 둘러싼다.

$$\varepsilon_0\oint\vec{E}\cdot d\vec{A} = \varepsilon_0 EA = q - q' \quad\Rightarrow\quad E = \frac{q-q'}{\varepsilon_0 A}$$

유도 전하의 크기

유전체의 효과는 장을 $\kappa$분의 1로 줄이는 것이었다:

$$E = \frac{E_0}{\kappa} = \frac{q}{\kappa\varepsilon_0 A}$$

두 표현을 비교하면:

$$\frac{q - q'}{\varepsilon_0 A} = \frac{q}{\kappa\varepsilon_0 A} \quad\Rightarrow\quad q - q' = \frac{q}{\kappa} \quad\Rightarrow\quad \boxed{q' = q\left(1 - \frac{1}{\kappa}\right)}$$

• 유도 전하는 항상 자유 전하보다 작다 ($q' < q$)
• $\kappa = 1$(진공)이면 $q' = 0$ — 유도 전하 없음
• $\kappa$가 클수록 $q'$이 $q$에 가까워진다 (도체는 $\kappa \to \infty$인 극한처럼 행동)

일반화된 가우스 법칙

$q - q' = q/\kappa$를 가우스 법칙에 넣으면 유도 전하를 명시적으로 쓸 필요가 없어진다:

$$\boxed{\varepsilon_0\oint \kappa\vec{E}\cdot d\vec{A} = q} \qquad (\text{유전체가 있을 때의 가우스 법칙})$$

세 가지 주의점:

1. 플럭스 적분에 $\vec{E}$가 아니라 $\kappa\vec{E}$가 들어간다 ($\varepsilon_0\kappa\vec{E}$를 전기 변위(electric displacement) $\vec{D}$라 부르기도 한다)
2. 우변의 $q$는 자유 전하만 센다 — 유도 전하는 좌변의 $\kappa$가 자동으로 처리한다
3. $\kappa$는 위치에 따라 다를 수 있으므로 적분 안에 둔다. 진공은 $\kappa = 1$인 특수한 경우

응용: 유전체가 판 사이를 일부만 채우면

두께 $b < d$인 유전체 슬라브가 판 사이 일부만 채우는 경우, 일반화된 가우스 법칙을 구간별로 적용하면:

• 틈(공기)에서는: $\varepsilon_0 E_0 A = q \Rightarrow E_0 = \dfrac{q}{\varepsilon_0 A}$
• 유전체 안에서는: $\varepsilon_0 \kappa E_1 A = q \Rightarrow E_1 = \dfrac{q}{\kappa\varepsilon_0 A} = \dfrac{E_0}{\kappa}$

전위차는 경로를 따라 구간별로 더한다:

$$V = \int_-^+ E\,ds = E_0(d - b) + E_1 b$$

그리고 $C = q/V$. 결과는 진공일 때보다 크고, 완전히 채웠을 때($\kappa\varepsilon_0 A/d$)보다는 작다. 유도 전하($\pm q'$)는 계산에 등장하지 않는다 — $\kappa$가 이미 처리했다.

Review & Summary

핵심 개념과 공식 (1)

• 축전기 : 절연된 두 도체(판)에 $\pm q$ — 전하와 전위차는 비례한다: $q = CV$
• 전기용량 계산법 : $q$ 가정 → 가우스 법칙으로 $E$ → 적분으로 $V$ → $C = q/V$
• 결과는 항상 $\varepsilon_0 \times$ (길이 차원의 기하량) — 기하가 $C$를 결정한다

핵심 개념과 공식 (2)

기억할 것 : 배터리 연결이면 $V$ 고정, 분리면 $q$ 고정. 에너지는 전기장 속에 있고, 유전체는 장을 약하게 하는 대신 그릇($C$)을 키운다.