24장: 전기 퍼텐셜

Electric Potential

힘에서 에너지로

지금까지 우리는 전하 사이의 힘 (쿨롱 법칙)과, 힘을 매개하는 전기장(electric field) 을 배웠다. 이번 장에서는 관점을 바꾼다.

• 1학기 역학에서도 힘만으로 풀기 어려운 문제를 에너지 보존 으로 쉽게 풀었다
• 힘과 장은 벡터 — 성분을 나누고 방향을 챙겨야 한다
• 에너지는 스칼라 — 부호만 신경 쓰면 된다

전기력은 보존력(conservative force) 이다. 따라서 퍼텐셜에너지를 정의할 수 있고, 여기서 한 걸음 더 나아가 "단위 전하당 퍼텐셜에너지"인 전기 퍼텐셜(electric potential) 을 정의한다.

전압은 일상 어디에나 있다

전압(voltage) 이라는 익숙한 단어가 바로 이번 장의 주인공, 전기 퍼텐셜의 차이다.

"몇 볼트"인지가 왜 중요한지, 볼트가 정확히 무엇을 뜻하는지 이번 장에서 배운다.

이번 장의 핵심 세 가지

1. 전기 퍼텐셜의 정의 : 단위 전하당 전기 퍼텐셜에너지 $$V = \frac{U}{q_0} = \frac{-W_\infty}{q_0}, \qquad U = qV$$
2. 장에서 퍼텐셜 구하기 : 전기장을 선적분하면 퍼텐셜 차가 나온다 $$V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s}$$
3. 퍼텐셜에서 장 구하기 : 퍼텐셜의 변화율이 전기장이다 $$E_s = -\frac{\partial V}{\partial s}$$

24.1 전기 퍼텐셜

전기력은 보존력이다

8장에서 배운 내용을 떠올리자. 어떤 힘이 보존력 이면:

• 한 일이 경로와 무관 하고, 시작점과 끝점만으로 정해진다
• 따라서 그 힘에 대한 퍼텐셜에너지(potential energy) $U$를 정의할 수 있다

$$U = -W \quad (\text{퍼텐셜에너지})$$

중력이 대표적인 보존력이었다. 실험 결과, 전기력도 보존력 이다. 그러므로 전기력에 대해서도 퍼텐셜에너지를 정의할 수 있다.

전기 퍼텐셜에너지: 기준 설정

퍼텐셜에너지에는 항상 기준 배치 ($U = 0$인 배치)가 필요하다.

• 기준: 시험 전하 $q_0$가 전하 분포에서 무한히 멀리 떨어져 있을 때 ($U = 0$)
• 시험 전하를 무한대에서 점 $P$까지 가져오는 동안 전기력이 한 일을 $W_\infty$라 하면

$$U = -W_\infty$$

전기 퍼텐셜의 정의

$U$는 시험 전하 $q_0$의 크기에 비례한다. 그래서 $q_0$로 나누면 전하 분포만의 성질 이 남는다. 이것이 전기 퍼텐셜(electric potential) 이다.

$$\boxed{V = \frac{U}{q_0} = \frac{-W_\infty}{q_0}}$$

• $V$는 시험 전하와 무관 하다 — 시험 전하가 없어도 그 점에 존재한다
• $V$는 스칼라 다 (방향이 없다!)
• $V$는 원천 전하의 부호에 따라 양수도 음수도 될 수 있다

퍼텐셜을 알면 퍼텐셜에너지가 나온다

퍼텐셜 $V$인 곳에 전하 $q$를 놓으면, 그 배치의 전기 퍼텐셜에너지는

$$\boxed{U = qV}$$

여기서 $q$는 부호를 포함한다. 두 가지 주의사항:

• 퍼텐셜(potential) 과 퍼텐셜에너지(potential energy) 는 다른 물리량이다 — 단위부터 다르다 (V vs J)
• 전기 퍼텐셜은 스칼라 다. 전기장(벡터)보다 다루기 훨씬 쉽다

단위: 볼트

퍼텐셜의 SI 단위는 J/C이고, 이를 볼트(volt, V) 라 부른다.

$$1\ \mathrm{V} = 1\ \mathrm{J/C}$$

이 정의를 쓰면 전기장의 단위도 새로 쓸 수 있다:

$$1\ \mathrm{N/C} = \left(1\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\right)\left(\frac{1\ \mathrm{V}}{1\ \mathrm{J/C}}\right)\left(\frac{1\ \mathrm{J}}{1\ \mathrm{N\cdot m}}\right) = 1\ \mathrm{V/m}$$

앞으로 전기장의 크기는 주로 V/m 로 표기한다. "1 m 갈 때 퍼텐셜이 몇 V 변하는가"라는 뜻이다.

퍼텐셜 차와 에너지 변화

전하 $q$가 점 $i$에서 점 $f$로 이동하면, 퍼텐셜은 $\Delta V = V_f - V_i$만큼 변하고 퍼텐셜에너지는

$$\boxed{\Delta U = q\,\Delta V = q(V_f - V_i)}$$

만큼 변한다.

• $\Delta U$의 부호는 $q$와 $\Delta V$의 부호에 따라 결정된다
• 전기력이 보존력이므로 $\Delta U$는 경로와 무관 하다

장이 하는 일과 운동에너지

보존력의 일반 관계 $W = -\Delta U$에 $\Delta U = q\,\Delta V$를 넣으면, 전기장이 전하에 한 일은

$$W = -\Delta U = -q\,\Delta V$$

전기력만 작용한다면 역학적 에너지가 보존된다 ($U_i + K_i = U_f + K_f$):

$$\boxed{\Delta K = -\Delta U = -q\,\Delta V}$$

퍼텐셜 차만 알면 힘을 계산하지 않고도 속력 변화를 구할 수 있다!

외력이 함께 작용할 때

전기력 외에 외력(applied force) 이 일 $W_{\text{app}}$을 하면, 에너지 보존은

$$U_i + K_i + W_{\text{app}} = U_f + K_f$$

$$\Delta K = -q\,\Delta V + W_{\text{app}}$$

특히 이동 전후에 정지해 있는 경우($K_i = K_f$, 천천히 옮기는 경우):

$$W_{\text{app}} = q\,\Delta V$$

이때 외력이 한 일은 장이 한 일과 크기가 같고 부호가 반대다 ($W_{\text{app}} = -W$).

전자볼트(eV)

원자·핵 물리에서는 줄(J)이 너무 큰 단위다. 그래서 전자볼트(electron-volt, eV) 를 쓴다.

기본 전하 $e$ 하나가 정확히 $1$ V의 퍼텐셜 차를 지날 때의 일:

$$1\ \mathrm{eV} = e(1\ \mathrm{V}) = (1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C})(1\ \mathrm{J/C}) = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{J}$$

• 화학 결합 에너지: 수 eV
• X선 광자: 수만 eV (keV)
• LHC 가속기의 양성자: 수조 eV (TeV)

예제 1: 전자총의 전자 가속

전자현미경의 전자총에서, 정지해 있던 전자(질량 $m = 9.11\times10^{-31}$ kg)가 퍼텐셜이 $100$ V 더 높은 전극으로 끌려가 가속된다. 도착할 때의 속력은?

전자의 전하는 $q = -e$이고 $\Delta V = +100$ V이므로:

$$\Delta K = -q\,\Delta V = -(-1.602\times10^{-19})(100) = +1.602\times10^{-17}\ \mathrm{J} = 100\ \mathrm{eV}$$

정지 상태에서 출발했으므로 $K = \frac{1}{2}mv^2 = 1.602\times10^{-17}$ J:

$$v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2(1.602\times10^{-17})}{9.11\times10^{-31}}} \approx \boxed{5.9\times10^{6}\ \mathrm{m/s}}$$

빛 속력의 약 2%. 음전하는 높은 퍼텐셜 쪽으로 가속된다는 점에 주의하자.

24.2 등퍼텐셜면과 전기장

등퍼텐셜면

퍼텐셜이 같은 점들을 이으면 등퍼텐셜면(equipotential surface) 이 된다.

• 같은 면 위에서 전하를 어떻게 움직여도 $V_f = V_i$이므로 $$W = -q\,\Delta V = 0$$
• 전기장은 등퍼텐셜면 위의 이동에 대해 일을 하지 않는다
• 경로가 면을 벗어났다 돌아와도, 시작점과 끝점이 같은 면 위에 있으면 $W = 0$

지형도의 등고선 과 똑같은 아이디어다. 등고선을 따라 걸으면 중력에 대해 일을 하지 않는다.

등퍼텐셜면은 전기력선과 수직이다

만약 $\vec{E}$가 등퍼텐셜면과 수직이 아니라면? 면에 나란한 성분이 생겨, 면을 따라 움직이는 전하에 일을 하게 된다. 이는 $W = 0$과 모순이다. 따라서 전기장은 반드시 등퍼텐셜면에 수직 이다.

장으로부터 퍼텐셜 계산: 설정

전기장 $\vec{E}$를 알 때 두 점 사이의 퍼텐셜 차를 구해 보자. 양의 시험 전하 $q_0$가 점 $i$에서 $f$로 임의의 경로를 따라 움직인다.

미소 변위 $d\vec{s}$ 동안 전기력 $\vec{F} = q_0\vec{E}$가 하는 일:

$$dW = \vec{F}\cdot d\vec{s} = q_0\,\vec{E}\cdot d\vec{s}$$

전체 경로에 대해 적분하면:

$$W = q_0\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s}$$

퍼텐셜 차 공식 (핵심!)

$W = -\Delta U = -q_0\,\Delta V$이므로, $q_0$를 소거하면:

$$\boxed{V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s}}$$

• 적분은 $i$와 $f$를 잇는 아무 경로 로 해도 결과가 같다 (보존력!)
• 계산이 쉬운 경로를 골라서 적분하면 된다
• 기준점을 $V_i = 0$으로 잡으면 (보통 무한대): $$V = -\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s}$$

균일한 장에 적용: $\Delta V = -E\,\Delta x$

경로가 $\vec{E}$와 나란하면 $\vec{E}\cdot d\vec{s} = E\,ds$이고, $E$가 상수이므로:

$$V_f - V_i = -E\int_i^f ds \;\;\Rightarrow\;\; \boxed{\Delta V = -E\,\Delta x}$$

전기장 방향으로 가면 퍼텐셜은 낮아진다. 전기장 벡터는 항상 높은 퍼텐셜에서 낮은 퍼텐셜 쪽을 가리킨다.

개념 확인: 경로를 바꿔도 같은 답

균일한 장에서 $i$에서 거리 $d$ 아래의 $f$까지 (장과 나란하게) 가면 $V_f - V_i = -Ed$.

이번엔 꺾인 경로 $i \to c \to f$로 가 보자 ($ic$는 장에 수직, $cf$는 장과 $45^\circ$):

• $ic$ 구간: $\vec{E} \perp d\vec{s}$이므로 $\vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$ → 퍼텐셜 변화 없음
• $cf$ 구간: $\vec{E}\cdot d\vec{s} = E\cos 45^\circ\,ds$, 경로 길이는 $d/\cos 45^\circ$

$$V_f - V_i = -E\cos 45^\circ \times \frac{d}{\cos 45^\circ} = -Ed$$

같은 결과 다. 퍼텐셜 차는 경로가 아니라 두 점이 결정한다.

24.3 점전하의 퍼텐셜

유도: 설정

점전하 $q(>0)$에서 거리 $R$만큼 떨어진 점 $P$의 퍼텐셜을 구하자. 시험 전하를 $P$에서 무한대까지 반지름 방향 직선을 따라 내보낸다.

• $\vec{E}$는 반지름 방향, $d\vec{s}$도 반지름 방향 → $\theta = 0$ $$\vec{E}\cdot d\vec{s} = E\,\cos 0\; ds = E\,dr$$
• $i$는 $P$ (거리 $R$), $f$는 무한대 ($V_f = 0$)로 두면:

$$V_f - V_i = -\int_R^\infty E\,dr \;\;\Rightarrow\;\; 0 - V = -\int_R^\infty E\,dr$$

유도: 적분 계산

점전하의 전기장 크기 $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}$를 대입한다:

$$0 - V = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_R^\infty \frac{dr}{r^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{r}\right]_R^\infty = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(0 - \frac{1}{R}\right)$$

$$-V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R}$$

$R$을 일반적인 거리 $r$로 바꾸면:

$$\boxed{V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}}$$

점전하 퍼텐셜의 특징

• $V$의 부호는 $q$의 부호와 같다: 양전하는 양의 퍼텐셜, 음전하는 음의 퍼텐셜을 만든다
• $1/r$로 감소한다 (전기장의 $1/r^2$보다 느리게)
• 구대칭 전하 분포의 바깥 에서도 그대로 성립한다 (껍질 정리: 중심에 모인 점전하처럼 취급)

여러 점전하: 스칼라 합

전하가 $n$개일 때, 중첩 원리에 따라 각 전하의 퍼텐셜을 그냥 더하면 된다:

$$\boxed{V = \sum_{i=1}^{n} V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{r_i}}$$

• 부호를 포함한 대수 합(algebraic sum) 이다 — 방향 성분이 필요 없다!
• 전기장(벡터 합)보다 계산이 압도적으로 쉽다. 이것이 퍼텐셜로 문제를 푸는 큰 장점이다

퍼텐셜은 스칼라: 배치를 바꿔도?

반지름 $R$인 원 위에 전자 12개가 균일하게 놓여 있을 때, 중심 $C$의 퍼텐셜은:

$$V = -12\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e}{R}$$

이제 전자 12개를 원의 한쪽 $120^\circ$ 구간에 몰아넣으면?

• 각 전자와 $C$ 사이 거리는 여전히 $R$ → 퍼텐셜은 그대로
• 반면 전기장은 대칭이 깨져 $\vec{E} = 0$에서 $\vec{E} \neq 0$으로 달라진다

퍼텐셜은 거리만 보고, 방향은 보지 않는다.

예제 2: 정사각형 중심의 퍼텐셜

한 변의 길이가 $d = 1.3$ m인 정사각형 네 꼭짓점에 전하가 있다: $q_1 = +12$, $q_2 = -24$, $q_3 = +31$, $q_4 = +17$ (단위: nC). 중심 $P$의 퍼텐셜은? ($V=0$은 무한대 기준)

각 꼭짓점에서 중심까지 거리는 모두 같다: $r = d/\sqrt{2} = 0.919$ m. 전하의 합은

$$\sum q_i = (12 - 24 + 31 + 17)\times10^{-9} = 36\times10^{-9}\ \mathrm{C}$$

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sum q_i}{r} = \frac{(8.99\times10^9)(36\times10^{-9})}{0.919} \approx \boxed{350\ \mathrm{V}}$$

음전하가 있어도 그냥 부호째로 더한다 — 벡터 분해가 전혀 필요 없다.

24.4 쌍극자의 퍼텐셜

설정: 두 전하의 퍼텐셜을 더한다

전기 쌍극자(electric dipole) : 크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 $+q$, $-q$가 거리 $d$만큼 떨어진 배치. 점 $P$에서의 퍼텐셜은 두 점전하 퍼텐셜의 합:

$$V = V_{(+)} + V_{(-)} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_{(+)}} + \frac{-q}{r_{(-)}}\right)$$

통분하면:

$$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r_{(-)} - r_{(+)}}{r_{(-)}\,r_{(+)}}$$

이제 $r_{(-)} - r_{(+)}$와 $r_{(-)}r_{(+)}$를 기하학으로 근사한다.

원거리 근사 ($r \gg d$)

멀리서 보면 $P$로 가는 두 직선은 거의 평행하다. 직각삼각형에서:

$$r_{(-)} - r_{(+)} \approx d\cos\theta, \qquad r_{(-)}\,r_{(+)} \approx r^2$$

쌍극자 퍼텐셜 공식

근사를 대입하면:

$$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{d\cos\theta}{r^2}$$

$p = qd$ (쌍극자 모멘트 의 크기, $\vec{p}$는 $-q$에서 $+q$ 방향)를 쓰면:

$$\boxed{V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^2}} \qquad (r \gg d)$$

• $\vec{p}$ 방향의 축 위($\theta = 0$)에서 최대, 반대쪽($\theta = 180^\circ$)에서 최소(음수)
• 수직 이등분면($\theta = 90^\circ$)에서는 $V = 0$ — 두 전하의 기여가 정확히 상쇄
• $1/r^2$로 감소: 점전하($1/r$)보다 빨리 사라진다 — 멀리서 보면 알짜 전하가 0이기 때문

유도 쌍극자 모멘트

물($\mathrm{H_2O}$) 같은 극성 분자는 영구 쌍극자 모멘트 를 가진다. 그런데 대칭적인 원자나 비극성 분자 도 쌍극자가 될 수 있다:

• 외부 전기장 $\vec{E}$를 걸면 전자 구름이 장의 반대 방향으로 쏠린다
• 양전하 중심과 음전하 중심이 어긋난다 → $\vec{E}$ 방향의 쌍극자 모멘트 $\vec{p}$ 발생

이렇게 생긴 모멘트를 유도 쌍극자 모멘트(induced dipole moment), 이 상태를 분극(polarized) 되었다고 한다. 장을 끄면 사라진다. (풍선이 벽에 붙는 이유가 바로 이 유도 분극이다.)

24.5 연속 전하 분포의 퍼텐셜

일반적인 방법

막대·원반처럼 전하가 연속적으로 퍼져 있으면 합 대신 적분 한다.

1. 분포를 미소 전하 조각 $dq$로 나눈다
2. 각 조각을 점전하로 취급해 $P$에서의 퍼텐셜 기여를 쓴다: $$dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r}$$
3. 전체 분포에 대해 적분한다: $$\boxed{V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}}$$

$dq$는 선전하 밀도로는 $\lambda\,dx$, 면전하 밀도로는 $\sigma\,dA$로 바꾼다. 스칼라 적분 이므로 성분 분해가 필요 없다.

선전하: 설정

길이 $L$, 균일한 선전하 밀도 $\lambda(>0)$인 가는 막대. 왼쪽 끝에서 수직 거리 $d$인 점 $P$의 퍼텐셜을 구하자.

위치 $x$의 조각 $dx$가 가진 전하는 $dq = \lambda\,dx$, $P$까지의 거리는 $r = \sqrt{x^2 + d^2}$:

$$dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,dx}{\sqrt{x^2 + d^2}}$$

선전하: 적분

$x = 0$부터 $x = L$까지 적분한다. $\int dx/\sqrt{x^2+d^2} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+d^2}\right)$이므로:

$$V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^L \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Big[\ln\big(x + \sqrt{x^2+d^2}\big)\Big]_0^L$$

$$V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[\ln\big(L + \sqrt{L^2+d^2}\big) - \ln d\right]$$

$\ln A - \ln B = \ln(A/B)$를 쓰면:

$$\boxed{V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\ln\frac{L + \sqrt{L^2+d^2}}{d}}$$

$\lambda > 0$이면 로그의 진수가 1보다 커서 $V > 0$ — 부호도 자연스럽게 맞는다.

대전된 원반: 설정

반지름 $R$, 균일한 표면 전하 밀도 $\sigma$인 원반의 중심축 위 점 $P$(높이 $z$)의 퍼텐셜.

반지름 $R'$, 폭 $dR'$인 고리 를 요소로 잡으면 고리의 전하는 $dq = \sigma(2\pi R')(dR')$이고, 고리 위 모든 점이 $P$에서 같은 거리 $r = \sqrt{z^2 + R'^2}$에 있다:

$$dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\,2\pi R'\,dR'}{\sqrt{z^2 + R'^2}}$$

원반: 적분

$R' = 0$부터 $R$까지 고리들을 더한다 ($2\pi/4\pi = 1/2$로 약분):

$$V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_0^R \frac{R'\,dR'}{\sqrt{z^2 + R'^2}}$$

$\int R'\,dR'/\sqrt{z^2+R'^2} = \sqrt{z^2+R'^2}$이므로 ($z$는 상수):

$$V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Big[\sqrt{z^2+R'^2}\Big]_0^R$$

$$\boxed{V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2+R^2} - z\right)} \qquad (z \ge 0)$$

2차원 분포지만 대칭성 덕분에 1차원 적분으로 끝났다.

24.6 퍼텐셜로부터 전기장 계산

반대 방향으로 가기

24.2절에서는 $\vec{E}$에서 $V$를 얻었다. 이번에는 거꾸로, $V(x,y,z)$를 알 때 $\vec{E}$를 구한다.

그림으로는 답이 이미 보인다: 등퍼텐셜면들을 그리면 $\vec{E}$는 그 면에 수직 이고, 면이 조밀할수록 장이 세다. 이를 수식으로 옮기자.

유도

시험 전하 $q_0$가 한 등퍼텐셜면에서 이웃 면으로 변위 $d\vec{s}$만큼 움직인다. 장이 한 일을 두 가지로 쓴다.

• 퍼텐셜 차로: $W = -q_0\,dV$
• 힘과 변위의 내적으로: $W = q_0\vec{E}\cdot d\vec{s} = q_0\,E\cos\theta\,ds$

두 표현이 같아야 하므로:

$$-q_0\,dV = q_0\,E\cos\theta\,ds \;\;\Rightarrow\;\; E\cos\theta = -\frac{dV}{ds}$$

$E\cos\theta$는 $d\vec{s}$ 방향의 $\vec{E}$ 성분이므로:

$$\boxed{E_s = -\frac{\partial V}{\partial s}}$$

성분별 공식

어느 방향으로든, $\vec{E}$의 그 방향 성분은 퍼텐셜이 그 방향으로 감소하는 비율이다.

$s$축을 $x$, $y$, $z$축으로 잡으면:

$$\boxed{E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \qquad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \qquad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}}$$

• $V(x,y,z)$를 알면 편미분만으로 $\vec{E}$ 전체를 얻는다
• 균일한 장이면 간단히 $E = -\dfrac{\Delta V}{\Delta s}$ ($s$는 등퍼텐셜면에 수직인 방향)
• 등퍼텐셜면에 나란한 방향의 성분은 0 (그 방향으로 $V$가 안 변하니까)

적용: 원반의 축 위 전기장

방금 구한 원반의 퍼텐셜 $V = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2+R^2} - z\right)$에서 축 방향 전기장을 뽑아 보자.

$$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{d}{dz}\left(\sqrt{z^2+R^2} - z\right) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} - 1\right)$$

$$\boxed{E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)}$$

22장에서 쿨롱 법칙으로 힘들게 적분해 얻었던 결과와 정확히 같다. 퍼텐셜을 먼저 구하고 미분하는 쪽이 훨씬 쉬울 때가 많다.

24.7 전하계의 전기 퍼텐셜에너지

계의 퍼텐셜에너지 = 조립하는 일

여러 전하로 이루어진 계의 전기 퍼텐셜에너지 는:

무한히 멀리 떨어져 정지해 있던 전하들을 현재 배치로 모아 오는 동안 외력이 해야 하는 일

• 같은 부호 두 전하: 척력을 거슬러야 함 → 외력의 일이 양수 → $U > 0$
• 반대 부호 두 전하: 인력이 도와줌 → 외력의 일이 음수 → $U < 0$

두 입자 계: 유도

$q_2$를 고정하고, $q_1$을 무한대에서 거리 $r$까지 천천히 가져온다. $K_i = K_f = 0$이므로 $W_{\text{app}} = q_1\Delta V$이고, 이것이 곧 $U_f - U_i$다:

$$U_f - U_i = q_1(V_f - V_i)$$

$U_i = 0$ (기준 배치), $V$는 $q_2$가 만드는 퍼텐셜이므로 $V_i = 0$ ($r=\infty$), $V_f = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_2}{r}$:

$$\boxed{U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}} \qquad (\text{두 입자 계})$$

전하의 부호를 그대로 포함 한다. 같은 부호면 $U>0$, 다른 부호면 $U<0$.

셋 이상의 입자: 모든 쌍의 합

세 번째 전하를 가져올 때는 앞의 두 전하가 만든 퍼텐셜을 거슬러 일을 한다. 정리하면:

전하계의 총 퍼텐셜에너지 = 모든 쌍 의 퍼텐셜에너지의 합

$$U = U_{12} + U_{13} + U_{23} + \cdots$$

• 가져오는 순서와 무관하게 같은 결과가 나온다
• 입자가 $n$개면 쌍은 $n(n-1)/2$개

예제 3: 세 전하 계의 퍼텐셜에너지

한 변 $d = 12$ cm인 정삼각형 꼭짓점에 $q_1 = +q$, $q_2 = -4q$, $q_3 = +2q$가 고정되어 있다 ($q = 150$ nC). 이 계의 퍼텐셜에너지는?

세 쌍의 에너지를 모두 더한다 (모든 쌍의 거리는 $d$):

$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(q)(-4q)}{d} + \frac{(q)(2q)}{d} + \frac{(-4q)(2q)}{d}\right) = -\frac{10q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}$$

$$U = -\frac{(8.99\times10^9)(10)(150\times10^{-9})^2}{0.12} \approx \boxed{-1.7\times10^{-2}\ \mathrm{J} = -17\ \mathrm{mJ}}$$

$U < 0$: 이 배치를 완전히 해체해 무한히 흩어놓으려면 외부에서 $+17$ mJ의 일을 해 줘야 한다 — 묶여 있는(bound) 계다.

예제 4: 알파 입자와 금 원자핵 (러더퍼드 산란)

알파 입자($q_1 = 2e$)가 금 원자핵($q_2 = 79e$)을 향해 정면으로 돌진하여, 중심에서 $r = 9.23$ fm 떨어진 곳에서 순간적으로 멈췄다. 처음(멀리 있을 때) 운동에너지 $K_i$는?

역학적 에너지 보존: $K_i + U_i = K_f + U_f$에서 $U_i = 0$ (멀리), $K_f = 0$ (정지):

$$K_i = U_f = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(2e)(79e)}{r} = \frac{(8.99\times10^9)(158)(1.602\times10^{-19})^2}{9.23\times10^{-15}}$$

$$K_i = 3.94\times10^{-12}\ \mathrm{J} \approx \boxed{24.6\ \mathrm{MeV}}$$

운동에너지가 몽땅 전기 퍼텐셜에너지로 바뀌었다가 다시 튕겨 나온다. 러더퍼드는 이런 분석으로 원자핵의 크기를 추정했다.

24.8 대전된 고립 도체의 퍼텐셜

도체 전체는 하나의 등퍼텐셜

23장에서: 평형 상태의 도체 내부는 $\vec{E} = 0$이고, 잉여 전하는 모두 표면 에 분포한다. 여기에 퍼텐셜 차 공식을 적용하면:

$$V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0 \qquad (\text{도체 내부 어디든 } \vec{E} = 0)$$

고립 도체의 모든 점(내부든 표면이든)은 같은 퍼텐셜 에 있다.

도체 내부에 빈 공동이 있어도 마찬가지다. 도체 표면은 언제나 하나의 등퍼텐셜면이고, 표면의 전기장은 표면에 수직이다.

구 껍질의 $V(r)$와 $E(r)$

• 바깥($r > R$): 점전하처럼 $V = kq/r$, $E = kq/r^2$
• 내부($r < R$): $E = 0$이지만 $V$는 0이 아니라 표면값 $kq/R$ 그대로 일정
• $E$는 $V$를 미분한 것: $V$가 평평한 구간($r<R$)에서 $E = 0$이 되는 것과 정확히 일치

뾰족한 곳에 전하가 몰린다: 코로나 방전

• 비구형 도체에서 표면 전하는 균일하지 않다: 곡률이 큰(뾰족한) 곳 에 밀도 $\sigma$가 높다
• $\sigma$가 크면 표면 전기장 $E$도 크다 → 주변 공기가 이온화되며 코로나 방전(corona discharge) 발생
• 피뢰침 이 뾰족한 이유: 전하를 공기 중으로 흘려보내고, 방전 경로를 유도한다

사람도 도체다

반 데 그라프 발전기(Van de Graaff generator) 의 금속 구에 손을 대면 몸 전체가 수만~수십만 V의 등퍼텐셜이 된다. 머리카락마다 같은 부호의 전하가 퍼져 서로 밀어내고, 등퍼텐셜면(두피!)에 수직으로 곤두선다.

• 건조한 날 몸에 쌓인 정전기: 수천~수만 V — 그런데 왜 안 다칠까? 전하량(에너지)이 작기 때문
• 수술실·주유소에서는 이 작은 스파크도 위험해서 정전기 방지 장비를 쓴다

외부 전기장 속의 도체

대전되지 않은 도체를 외부 전기장 속에 놓아도 결론은 같다.

• 전도 전자들이 재배치되어 표면에 유도 전하가 생긴다
• 유도 전하의 장이 내부에서 외부 장을 정확히 상쇄 → 내부는 $\vec{E} = 0$, 전체가 등퍼텐셜
• 표면의 알짜 전기장은 표면에 수직

번개가 칠 때 자동차 안이 안전한 이유다(고무 타이어 때문이 아니다!). 금속 차체가 전하를 바깥 표면으로만 흘려보내고 내부 공간의 장을 0으로 만든다.

Review & Summary

핵심 개념

• 전기 퍼텐셜 : 단위 전하당 퍼텐셜에너지, $V = U/q_0$ — 스칼라
• 퍼텐셜 차와 에너지 : $\Delta U = q\,\Delta V$, 장만 작용하면 $\Delta K = -q\,\Delta V$
• 등퍼텐셜면 : 면 위 이동에는 $W = 0$, 전기력선과 항상 수직
• 장 ↔ 퍼텐셜 : 적분하면 $V$, 미분하면 $E$ $$V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E}\cdot d\vec{s}, \qquad E_s = -\frac{\partial V}{\partial s}$$
• 도체 : 평형 상태의 도체 전체는 하나의 등퍼텐셜 (내부 $E = 0$)

핵심 공식

기억할 것:

• 전기장은 높은 $V$에서 낮은 $V$ 쪽을 가리킨다 ($\Delta V = -E\,\Delta x$)
• $1\ \mathrm{V} = 1\ \mathrm{J/C}$, $\;1\ \mathrm{V/m} = 1\ \mathrm{N/C}$, $\;1\ \mathrm{eV} = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{J}$
• 퍼텐셜 계산엔 벡터가 필요 없다 — 이것이 퍼텐셜의 힘이다