22장: 전기장

Electric Fields

지난 시간 복습: 쿨롱 법칙

두 점전하 사이의 힘은 쿨롱 법칙으로 계산할 수 있었다.

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$$

그런데 여기에는 찜찜한 질문이 하나 남아 있다.

두 전하는 서로 접촉하지 않는다. 그런데 전하 1은 전하 2가 저기 있다는 걸 어떻게 "알고" 힘을 받을까?

이런 원격 작용(action at a distance) 의 수수께끼가 이번 장의 출발점이다.

답: 공간 자체가 변한다

이 질문에 대한 물리학의 답은 다음과 같다.

• 전하 2는 자기 주위의 모든 공간 (진공이라도!)에 전기장(electric field) 을 만든다
• 전하 1은 전하 2를 직접 "느끼는" 것이 아니라, 자기가 있는 자리의 전기장 에 반응한다
• 즉, 힘은 두 단계로 전달된다: 전하 → 장 → 다른 전하

컵을 손으로 밀면 접촉으로 힘이 전달되지만, 전하는 자신이 만든 장을 통해 밀고 당긴다.

이번 장의 세 가지 목표

1. 전기장의 정의 : 전기장이 무엇인지 정확히 정의한다 $$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$$
2. 전기장 계산 : 점전하, 쌍극자, 선전하, 원판 등 여러 전하 배치가 만드는 장을 계산한다
3. 전기장의 효과 : 전기장 속에 놓인 전하와 쌍극자가 어떤 힘과 토크를 받는지 알아본다

22.1 전기장

장(field)이란 무엇인가

장(field) 은 공간의 각 점마다 물리량이 하나씩 배정된 것이다.

• 온도장(temperature field) : 강의실의 각 점마다 온도가 있다 — 크기만 있으므로 스칼라장(scalar field)
• 압력장(pressure field) : 수영장의 각 점마다 압력이 있다 — 역시 스칼라장

반면 전기장(electric field) 은 각 점마다 크기와 방향 을 가진 벡터가 배정된 벡터장(vector field) 이다. 힘의 정보를 전달해야 하기 때문이다.

전기장의 정의

어떤 점 $P$의 전기장은 이렇게 측정한다. 작은 양전하 $q_0$ — 시험 전하(test charge) — 를 $P$에 놓고, 그 전하가 받는 정전기력 $\vec{F}$를 잰다.

$$\boxed{\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}}$$

$q_0 > 0$이므로 $\vec{E}$의 방향은 $\vec{F}$의 방향과 같다. SI 단위는 뉴턴 매 쿨롬(N/C) 이다.

정의에서 주의할 점

• 시험 전하는 충분히 작아야 한다 — 원래 대전체의 전하 분포를 흐트러뜨리지 않기 위해
• 전기장은 시험 전하와 무관하게 원래부터 그 자리에 존재 한다. 시험 전하는 그것을 재는 도구일 뿐
• 전기장은 대전체가 만든다. 시험 전하를 치워도 장은 남는다
• 힘(force)과 장(field)을 혼동하지 말 것! 힘은 전하가 받는 것($\mathrm{N}$), 장은 공간의 성질($\mathrm{N/C}$)

측정점을 옮겨 가며 재면 공간 전체의 전기장 분포를 알 수 있다.

우리 주변의 전기장

전기장의 크기는 상황에 따라 어마어마하게 다르다.

맑은 날에도 지표에는 약 $100$ N/C의 전기장이 아래로 향하고 있다!

전기력선

19세기의 마이클 패러데이(Michael Faraday) 는 눈에 보이지 않는 전기장을 선으로 시각화하는 방법을 고안했다. 이를 전기력선(electric field lines) 이라 한다.

• 규칙 1: 각 점에서 전기장 벡터 $\vec{E}$는 그 점을 지나는 전기력선의 접선 방향
• 규칙 2: 선이 빽빽한 곳일수록 장이 강하다 (선의 밀도 ∝ 장의 세기)

전기력선의 출발점과 끝점

전기력선은 양전하에서 나와서(originate) 음전하에서 끝난다(terminate).

• 양의 점전하: 사방으로 뻗어 나가는 방사형 — 끝은 (그림에 없는) 먼 음전하
• 쌍극자: 양전하에서 나와 굽어져 음전하로 들어간다
• 크고 균일하게 대전된 평행판 사이: 선들이 평행하고 등간격 — 어디서나 크기와 방향이 같은 균일한 전기장(uniform field)

같은 부호의 두 전하 사이에는 선이 서로 피해 가며, 중간 지점의 장은 약해진다. 아래 시뮬레이션에서 직접 확인해 보자.

22.2 점전하의 전기장

쿨롱 법칙에서 전기장으로

점전하 $q$에서 거리 $r$ 떨어진 곳에 시험 전하 $q_0$를 놓으면, 쿨롱 법칙에 의해

$$\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,q_0}{r^2}\hat{r}$$

전기장의 정의에 따라 $q_0$로 나누면:

$$\boxed{\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}, \qquad E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}}$$

크기를 쓸 때 $|q|$로 절댓값을 취하는 이유: 부호는 방향 으로 따로 생각하기 위해서다.

방향 정하기

• $q > 0$: 장은 전하에서 멀어지는 방향 (양의 시험 전하가 밀려나는 방향)
• $q < 0$: 장은 전하를 향하는 방향
• 벡터의 꼬리 를 측정점에 붙여서 그린다 — 화살표를 아무 데나 그리면 틀리기 쉽다!

빠른 계산: 수소 원자 속의 전기장

수소 원자에서 양성자가 전자 위치(보어 반지름 $r = 5.29 \times 10^{-11}$ m)에 만드는 전기장의 크기는?

$$E = k\frac{e}{r^2} = \frac{(8.99 \times 10^9)(1.602 \times 10^{-19})}{(5.29 \times 10^{-11})^2}$$

분자는 $1.44 \times 10^{-9}$, 분모는 $2.80 \times 10^{-21}$:

$$\boxed{E \approx 5.1 \times 10^{11}\ \mathrm{N/C}}$$

공기의 절연 파괴 한계($3 \times 10^6$ N/C)의 십만 배가 넘는다. 원자 내부는 인간이 만드는 어떤 장치보다도 강한 전기장의 세계다.

중첩 원리

전하가 여러 개면? 시험 전하 $q_0$가 받는 알짜힘은 힘의 중첩 원리에 따라 $\vec{F}_0 = \vec{F}_{01} + \vec{F}_{02} + \cdots + \vec{F}_{0n}$. 양변을 $q_0$로 나누면:

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}_0}{q_0} = \frac{\vec{F}_{01}}{q_0} + \frac{\vec{F}_{02}}{q_0} + \cdots + \frac{\vec{F}_{0n}}{q_0}$$

$$\boxed{\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots + \vec{E}_n}$$

전기장도 중첩 원리(superposition principle) 를 따른다.

주의: 이것도 벡터 합 이다. 각 전하가 만드는 장의 크기를 그냥 더하면 안 된다!

예제: 전기장이 0이 되는 지점

전하 $q_1 = +q$가 원점에, $q_2 = +4q$가 $x = L$에 고정되어 있다. 두 전하 사이에서 알짜 전기장이 0이 되는 지점은?

두 전하 사이의 점 $x$에서 $\vec{E}_1$은 $+x$ 방향, $\vec{E}_2$는 $-x$ 방향이므로 크기가 같으면 상쇄된다:

$$k\frac{q}{x^2} = k\frac{4q}{(L-x)^2}$$

양변을 정리하면 $(L-x)^2 = 4x^2$, 양의 제곱근을 취하면 $L - x = 2x$:

$$\boxed{x = \frac{L}{3}}$$

작은 전하 쪽에 더 가까운 곳에서 균형이 맞는다. (두 전하 바깥에서는 두 장의 방향이 같아서 절대 0이 될 수 없다.)

22.3 전기 쌍극자의 전기장

전기 쌍극자란

크기는 같고 부호가 반대인 두 전하 $+q$, $-q$가 짧은 거리 $d$만큼 떨어져 있는 배치를 전기 쌍극자(electric dipole) 라 한다.

• 두 전하를 잇는 축을 쌍극자 축(dipole axis) 이라 한다
• 물 분자, HCl 분자 등 수많은 분자가 전기적으로는 쌍극자처럼 행동한다
• 안테나에서 전파를 만드는 것도 진동하는 쌍극자다

멀리서 보면 $+q$와 $-q$가 거의 겹쳐 보여서 장이 거의 상쇄된다. "거의"가 핵심이다 — 완전히 상쇄되지는 않는다.

축 위의 전기장: 설정

쌍극자 축을 $z$축으로 잡고, 중심에서 거리 $z$인 축 위의 점 $P$에서 장을 구하자.

$P$가 $+q$ 쪽에 있으면 $+q$까지의 거리는 $r_+ = z - \tfrac{d}{2}$, $-q$까지는 $r_- = z + \tfrac{d}{2}$.

유도 (1): 두 장의 차

$\vec{E}_+$는 $+z$ 방향, $\vec{E}_-$는 $-z$ 방향이므로 알짜 장의 크기는 두 크기의 차:

$$E = E_+ - E_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r_+^2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r_-^2}$$

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 \left(z - \frac{d}{2}\right)^2} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 \left(z + \frac{d}{2}\right)^2}$$

$z^2$을 밖으로 빼내면:

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}\left[\left(1 - \frac{d}{2z}\right)^{-2} - \left(1 + \frac{d}{2z}\right)^{-2}\right]$$

유도 (2): 통분하기

대괄호 안을 통분하자. 분자는 제곱 차 공식으로 전개된다:

$$\left(1 + \frac{d}{2z}\right)^2 - \left(1 - \frac{d}{2z}\right)^2 = \left(1 + \frac{d}{z} + \frac{d^2}{4z^2}\right) - \left(1 - \frac{d}{z} + \frac{d^2}{4z^2}\right) = \frac{2d}{z}$$

분모는 $\left(1 - \frac{d}{2z}\right)^2\left(1 + \frac{d}{2z}\right)^2 = \left[1 - \left(\frac{d}{2z}\right)^2\right]^2$. 따라서:

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}\cdot\frac{2d/z}{\left[1 - \left(\frac{d}{2z}\right)^2\right]^2} = \frac{qd}{2\pi\varepsilon_0 z^3}\cdot\frac{1}{\left[1 - \left(\frac{d}{2z}\right)^2\right]^2}$$

여기까지는 정확한 식이다. 근사는 아직 쓰지 않았다.

원거리 근사와 쌍극자 모멘트

보통 관심 있는 것은 쌍극자 크기보다 훨씬 먼 곳의 장이다: $z \gg d$, 즉 $\frac{d}{2z} \ll 1$. 그러면 분모의 $\left(\frac{d}{2z}\right)^2$을 무시할 수 있다:

$$\boxed{E = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{qd}{z^3} = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{p}{z^3}}$$

여기서 곱 $qd$를 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) 의 크기 $p$로 정의한다.

• $\vec{p}$의 방향: $-q$에서 $+q$ 쪽으로 (단위: C·m)
• 축 위 먼 곳에서 $\vec{E}$의 방향은 $\vec{p}$의 방향과 같다 (위쪽이든 아래쪽이든!)

$1/z^3$이 말해주는 것

• 점전하의 장은 $1/r^2$, 쌍극자의 장은 $1/z^3$ — 쌍극자의 장이 훨씬 빨리 약해진다
• 이유: 멀리서 보면 $+q$와 $-q$가 거의 겹쳐 보여 두 장이 거의 상쇄 되기 때문
• 거리를 2배로 늘리면 점전하의 장은 $\frac{1}{4}$, 쌍극자의 장은 $\frac{1}{8}$로 줄어든다
• 먼 곳의 장은 $q$와 $d$에 따로 의존하지 않고 오직 곱 $p = qd$에만 의존한다 — $q$를 2배로, $d$를 절반으로 해도 장은 똑같다

사실 축 위가 아닌 모든 먼 지점에서 쌍극자의 장은 $1/r^3$으로 감소한다.

예제 ①: 뇌우 위의 붉은 섬광, 스프라이트

스프라이트(sprite) 는 거대한 뇌우 위 고도 수십 km에서 번쩍이는 붉은 방전 현상이다. 강력한 번개가 구름과 지면 사이에 큰 전하 이동을 일으킨 직후, 그 위 하늘에 나타난다. 이 현상을 쌍극자 모형으로 설명해 보자.

예제 ①: 스프라이트 계산

번개가 구름 밑면(높이 $h = 6.0$ km)에 전하 $-q = -200$ C을 옮겼다고 하자. 지면의 전하 분포는 지하 깊이 $h$에 놓인 $+q$로 근사할 수 있다. 그러면 전체는 전하 간격 $d = 2h$인 수직 쌍극자 다. 고도 $z_1 = 30$ km에서:

$$E = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{q(2h)}{z^3} = (1.80 \times 10^{10})\,\frac{(200)(1.2 \times 10^4)}{(3.0 \times 10^4)^3}$$

$$E_1 \approx 1.6 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$$

같은 방법으로 고도 $z_2 = 60$ km에서는 $E_2 \approx 2.0 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$.

공기가 희박할수록 절연 파괴 한계 $E_c$가 낮아진다. 고도 60 km에서는 $E_2$가 그곳의 $E_c$를 넘어서 공기가 이온화되며 빛을 낸다. 30 km에서는 공기가 진해서 $E_1 < E_c$ — 그래서 스프라이트는 뇌우보다 훨씬 높은 곳 에만 생긴다.

22.4 선전하의 전기장

연속 전하 분포

지금까지는 낱개의 점전하였다. 이제 막대나 고리처럼 연속적으로 퍼진 전하(continuous charge distribution) 가 만드는 장을 구하자. 전하가 어떻게 퍼져 있느냐에 따라 전하 밀도 를 정의한다.

전략: 쪼개고, 상쇄시키고, 적분한다

점전하 공식 $E = kq/r^2$은 고리 전체에는 적용할 수 없다. 그래서 3단계 전략을 쓴다.

1. 쪼개기 : 전하 분포를 미소 전하 요소 $dq$로 나눈다 — 각 요소는 점전하처럼 취급 가능
2. 대칭으로 상쇄 : 각 요소가 만드는 $d\vec{E}$를 성분으로 나누고, 대칭인 짝끼리 상쇄되는 성분을 찾아 버린다
3. 적분 : 남은 성분(모두 같은 방향)을 스칼라처럼 적분해 더한다

교재가 "이 책에서 가장 어려운 모듈"이라 부르는 부분이지만, 절차 만 익히면 어떤 모양이 나와도 똑같이 풀 수 있다.

대전된 고리: 설정

반지름 $R$인 플라스틱 고리에 양전하 $q$가 균일하게 퍼져 있다. 중심축 위, 중심에서 거리 $z$인 점 $P$의 전기장은?

호의 길이 $ds$인 전하 요소를 잡으면 $dq = \lambda\, ds$이고, 요소에서 $P$까지의 거리는 $r = \sqrt{z^2 + R^2}$로 모든 요소에 대해 같다.

요소의 장과 대칭성

전하 요소가 $P$에 만드는 장의 크기는 점전하 공식으로:

$$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\, ds}{z^2 + R^2}$$

$d\vec{E}$는 축과 각 $\theta$를 이룬다. 고리 반대편의 대칭 요소 가 만드는 장과 합치면, 축에 수직인 성분은 상쇄 되고 축 방향 성분 $dE\cos\theta$만 남는다. 그림의 직각삼각형에서:

$$\cos\theta = \frac{z}{r} = \frac{z}{(z^2 + R^2)^{1/2}}$$

$$dE\cos\theta = \frac{z\lambda}{4\pi\varepsilon_0 (z^2 + R^2)^{3/2}}\, ds$$

적분: 고리를 한 바퀴

$z$, $R$, $\lambda$는 요소를 옮겨 다녀도 변하지 않으므로 적분 밖으로 나온다. 변하는 것은 $s$뿐이고, 고리 한 바퀴는 $s = 0$부터 $2\pi R$까지:

$$E = \int dE\cos\theta = \frac{z\lambda}{4\pi\varepsilon_0 (z^2 + R^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi R} ds = \frac{z\lambda(2\pi R)}{4\pi\varepsilon_0 (z^2 + R^2)^{3/2}}$$

$\lambda = q/2\pi R$이므로 $\lambda(2\pi R) = q$:

$$\boxed{E = \frac{qz}{4\pi\varepsilon_0 (z^2 + R^2)^{3/2}}}$$

이것이 대전된 고리의 축 위 전기장 이다.

방향: $q > 0$이면 고리에서 멀어지는 쪽, $q < 0$이면 고리를 향하는 쪽.

극한으로 답 검증하기

답을 얻으면 항상 극한 을 확인하는 습관을 들이자.

• 아주 먼 곳 ($z \gg R$): $z^2 + R^2 \approx z^2$이므로 $$E \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{z^2}$$ 멀리서 보면 고리는 점전하로 보인다 ✓
• 고리 중심 ($z = 0$): $E = 0$. 중심에서는 모든 요소의 장이 맞은편 요소와 완전히 상쇄된다 ✓

두 극한 모두 물리적 직관과 일치한다. 이런 검증은 시험에서 실수를 잡아내는 최고의 도구다.

22.5 대전 원판의 전기장

고리를 재활용하자

반지름 $R$, 균일한 표면전하 밀도 $\sigma$인 원판의 중심축 위 점 $P$($z$)의 장을 구하자. 2차원 적분을 새로 할 필요 없이, 방금 얻은 고리 공식을 재활용 한다.

원판을 반지름 $r$, 폭 $dr$인 얇은 고리들로 쪼갠다. 고리 하나의 넓이는 (둘레)×(폭)이므로 $dA = 2\pi r\, dr$:

$$dq = \sigma\, dA = \sigma\, (2\pi r\, dr)$$

고리 요소의 기여

고리 공식에서 $q \to dq$, $R \to r$로 바꾸면 고리 하나가 $P$에 만드는 장:

$$dE = \frac{z\, dq}{4\pi\varepsilon_0 (z^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{z\,\sigma\,2\pi r\, dr}{4\pi\varepsilon_0 (z^2 + r^2)^{3/2}}$$

정리하면:

$$dE = \frac{\sigma z}{4\varepsilon_0}\,(z^2 + r^2)^{-3/2}\,(2r)\, dr$$

이제 $r = 0$(중심)부터 $r = R$(가장자리)까지 고리들을 쓸어 담으며 적분하면 된다.

적분 실행

$X = z^2 + r^2$로 치환하면 $dX = 2r\, dr$, 지수는 $m = -\frac{3}{2}$:

$$E = \frac{\sigma z}{4\varepsilon_0}\int_0^R (z^2 + r^2)^{-3/2}(2r)\,dr = \frac{\sigma z}{4\varepsilon_0}\left[\frac{(z^2 + r^2)^{-1/2}}{-1/2}\right]_0^R$$

극한을 대입하면 ($z \ge 0$):

$$E = \frac{\sigma z}{4\varepsilon_0}\cdot 2\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)$$

$$\boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)}$$

이것이 대전 원판의 축 위 전기장 이다.

원판의 두 극한: 무한판과 점전하

• 무한히 큰 판 ($R \to \infty$, 또는 판에 아주 가까이 $z \to 0$): $$\boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$$ 거리 $z$에 무관한 균일한 전기장 이다! 22.1절의 평행판 그림이 바로 이 경우다
• 아주 먼 곳 ($z \gg R$): $\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} \approx 1 - \frac{R^2}{2z^2}$이므로 $$E \approx \frac{\sigma R^2}{4\varepsilon_0 z^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{z^2} \qquad (q = \sigma\pi R^2)$$ 역시 점전하로 보인다 ✓

22.6 전기장 속의 점전하

두 번째 임무: 장이 전하에 힘을 준다

지금까지는 "전하 → 장"이었다. 이제 반대로, 주어진 전기장 속에 전하 $q$를 놓으면 어떻게 되는가?

$$\boxed{\vec{F} = q\vec{E}}$$

• $q > 0$: 힘은 $\vec{E}$와 같은 방향
• $q < 0$: 힘은 $\vec{E}$와 반대 방향 (음수 부호가 벡터를 뒤집는다)
• 여기서 $\vec{E}$는 다른 전하들 이 그 자리에 만든 외부 장(external field) 이다 — 입자 자신이 만든 장은 자신에게 힘을 주지 않는다

밀리컨의 기름방울 실험

미국의 물리학자 밀리컨(R. A. Millikan) 은 1910~1913년, $\vec{F} = q\vec{E}$를 이용해 기본 전하 $e$를 측정했다.

분무된 기름방울은 마찰로 대전된다. 평행판 사이의 전기장을 켜고 끄면서 방울의 낙하·상승을 관찰하면 방울의 전하 $q$를 잴 수 있는데, 측정값은 언제나 $q = ne$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$)였다. 전하의 양자화 를 확인한 이 업적으로 밀리컨은 1923년 노벨상을 받았다.

예제 ②: 기름방울 띄우기

반지름 $R = 2.76\ \mu\mathrm{m}$, 밀도 $\rho = 920\ \mathrm{kg/m^3}$인 기름방울이 전자 3개만큼의 잉여 전하를 가진다. 방울을 공중에 정지시키려면 전기장의 크기와 방향은? ($g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$)

중력과 전기력이 비겨야 한다. 질량은 $m = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$이므로:

$$\left(\tfrac{4}{3}\pi R^3 \rho\right) g = (3e)E \quad\Rightarrow\quad E = \frac{4\pi R^3 \rho\, g}{9e}$$

$$E = \frac{(4\pi)(2.76 \times 10^{-6})^3 (920)(9.8)}{9\,(1.602 \times 10^{-19})} \approx \boxed{1.65 \times 10^6\ \mathrm{N/C}}$$

방울의 전하는 음(−)이므로 힘 $\vec{F} = q\vec{E}$가 위 를 향하려면 $\vec{E}$는 아래 를 향해야 한다.

잉크젯 프린터

잉크젯 프린터는 $\vec{F} = q\vec{E}$를 글자 그대로 응용한 장치다.

• 노즐에서 나온 잉크 방울에 대전 장치가 신호에 따라 전하 $-Q$를 실어 준다
• 방울은 편향판(deflecting plates) 사이의 균일한 장을 지나며 힘을 받아 휜다
• 전하량이 클수록 많이 휘어 종이의 다른 위치에 찍힌다 — 전하가 곧 "주소"인 셈

균일장 속의 운동 = 포물체 운동

균일한 장 $\vec{E}$(아래 방향) 속에서 전하 $-Q$, 질량 $m$인 방울이 수평 속도 $v_x$로 들어온다. 힘은 위 방향으로 일정하므로 (중력은 무시):

$$a_y = \frac{F}{m} = \frac{QE}{m}$$

수평으로는 등속, 수직으로는 등가속 — 1학기의 포물체 운동과 똑같다. 판의 길이가 $L$이면 통과 시간은 $t = L/v_x$이고, 수직 편향은:

$$y = \frac{1}{2}a_y t^2 = \frac{1}{2}\frac{QE}{m}\left(\frac{L}{v_x}\right)^2 \;\Rightarrow\; \boxed{y = \frac{QEL^2}{2mv_x^2}}$$

예제 ③: 잉크 방울의 편향

질량 $m = 1.3 \times 10^{-10}$ kg, 전하 크기 $Q = 1.5 \times 10^{-13}$ C인 잉크 방울이 $v_x = 18$ m/s로 길이 $L = 1.6$ cm인 편향판 사이에 들어간다. $E = 1.4 \times 10^6$ N/C일 때 판 끝에서의 편향은?

$$y = \frac{QEL^2}{2mv_x^2} = \frac{(1.5 \times 10^{-13})(1.4 \times 10^6)(1.6 \times 10^{-2})^2}{2\,(1.3 \times 10^{-10})(18)^2}$$

분자는 $(2.1 \times 10^{-7})(2.56 \times 10^{-4}) = 5.4 \times 10^{-11}$, 분모는 $8.4 \times 10^{-8}$:

$$\boxed{y \approx 6.4 \times 10^{-4}\ \mathrm{m} = 0.64\ \mathrm{mm}}$$

인쇄 도트 간격으로 딱 알맞은 크기다. (참고: 전기력이 중력보다 훨씬 커서 중력 무시는 정당하다.)

전기 방전과 스파크

공기 중의 전기장이 임계값 $E_c \approx 3 \times 10^6$ N/C을 넘으면 절연 파괴(electrical breakdown) 가 일어난다.

• 강한 장이 공기 분자에서 전자를 떼어낸다 (이온화)
• 풀려난 전자들이 $\vec{F} = q\vec{E}$로 가속되어 다른 분자와 충돌 → 연쇄적으로 전자가 불어난다
• 충돌당한 분자들이 빛을 내며 우리 눈에 스파크(spark) 로 보인다

겨울철 문손잡이의 찌릿한 불꽃, 번개, 고압선 주변의 방전이 모두 같은 현상이다. 스프라이트도 희박한 상층 대기에서 일어나는 절연 파괴였다.

22.7 전기장 속의 쌍극자

물 분자는 영구 쌍극자다

물 분자에서 전자 10개는 산소 원자핵 쪽에 몰려 있다. 그래서 산소 쪽은 약간 음(−), 수소 쪽은 약간 양(+)이 되어, 분자 전체가 쌍극자 모멘트 $p = 6.2 \times 10^{-30}$ C·m를 가진다. 이런 분자를 극성 분자(polar molecule) 라 한다.

전체 전하는 0인데, 전기장 속에 넣으면 무슨 일이 벌어질까?

쌍극자에 작용하는 토크

전하 크기 $q$, 간격 $d$인 쌍극자가 균일한 장 $\vec{E}$와 각 $\theta$를 이루고 있다.

• 두 힘은 $F = qE$로 크기가 같고 방향이 반대 → 알짜힘은 0, 질량중심은 움직이지 않는다
• 그러나 두 힘의 작용선이 다르므로 토크(torque) 가 남는다

토크 계산

질량중심에서 $+q$까지 거리를 $x$, $-q$까지를 $d - x$라 하자. 토크의 크기는 $\tau = rF\sin\phi$ (10장)이므로 두 힘의 토크는 같은 회전 방향으로 더해진다:

$$\tau = Fx\sin\theta + F(d - x)\sin\theta = Fd\sin\theta$$

$F = qE$와 $d = p/q$를 대입하면:

$$\tau = (qE)\left(\frac{p}{q}\right)\sin\theta = pE\sin\theta$$

벡터로 일반화하면:

$$\boxed{\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}}$$

토크는 $\vec{p}$를 $\vec{E}$ 방향으로 정렬시키려는 쪽으로 작용한다 (복원 토크: $\tau = -pE\sin\theta$).

쌍극자의 퍼텐셜 에너지

토크를 받으며 도는 계이므로 방향에 따른 퍼텐셜 에너지(potential energy) 를 정의할 수 있다. 관례상 $\theta = 90°$에서 $U = 0$으로 잡으면, $U = -W$와 $W = \int \tau\, d\theta$ (복원 토크 $\tau = -pE\sin\theta$)에서:

$$U = -W = -\int_{90°}^{\theta} (-pE\sin\theta')\, d\theta' = pE\left[-\cos\theta'\right]_{90°}^{\theta}$$

$\cos 90° = 0$이므로:

$$U = -pE\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \boxed{U = -\vec{p}\cdot\vec{E}}$$

토크는 벡터곱, 에너지는 스칼라곱 — 짝으로 기억하자.

에너지로 본 쌍극자의 방향

쌍극자가 $\theta_i$에서 $\theta_f$로 돌 때 장이 한 일 은 $W = -\Delta U = -(U_f - U_i)$.

외부에서 (손이나 다른 장치가) 돌려 준 경우, 외부 일은 $W_a = -W = U_f - U_i$.

전자레인지는 쌍극자를 돌린다

전자레인지 속에서는 약 2.45 GHz로 방향이 진동하는 전기장 이 만들어진다.

• 장의 방향이 바뀔 때마다 물 분자들은 $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$로 끊임없이 다시 정렬 된다
• 액체 속 물 분자들은 이웃과 약하게 결합해 있는데, 회전이 이 결합을 계속 끊는다
• 끊어진 분자들이 다시 결합하며 그 에너지가 무질서한 열운동 으로 넘어간다 → 온도 상승

물이 극성 분자가 아니었다면 전자레인지는 무용지물이었을 것이다. 물기 없는 마른 접시가 잘 데워지지 않는 이유다.

예제 ④: 물 분자 쌍극자 (1)

수증기 상태의 물 분자는 쌍극자 모멘트 $p = 6.2 \times 10^{-30}$ C·m를 가진다.

(a) 양전하 중심과 음전하 중심 사이의 거리 $d$는?

물 분자에는 양성자 10개, 전자 10개가 있으므로 유효 전하는 $q = 10e$:

$$p = qd = (10e)d \quad\Rightarrow\quad d = \frac{p}{10e} = \frac{6.2 \times 10^{-30}}{(10)(1.602 \times 10^{-19})}$$

$$\boxed{d \approx 3.9 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 3.9\ \mathrm{pm}}$$

수소 원자 반지름보다도 작은 거리다. 분자 크기에 비해 전하 치우침은 아주 미세하지만, 그것으로 충분하다.

예제 ④: 물 분자 쌍극자 (2)

(b) $E = 1.5 \times 10^4$ N/C인 장 속에서 최대 토크는? 토크가 최대가 되는 각은 $\theta = 90°$:

$$\tau_{\max} = pE\sin 90° = (6.2 \times 10^{-30})(1.5 \times 10^4) = \boxed{9.3 \times 10^{-26}\ \mathrm{N\cdot m}}$$

(c) 완전히 정렬된 상태($\theta = 0$)에서 $180°$ 뒤집는 데 외부에서 해야 할 일은?

$$W_a = U_{180°} - U_{0°} = (-pE\cos 180°) - (-pE\cos 0°) = 2pE$$

$$W_a = 2\,(6.2 \times 10^{-30})(1.5 \times 10^4) = \boxed{1.9 \times 10^{-25}\ \mathrm{J}}$$

Review & Summary

핵심 개념

• 전기장 : 대전체는 주위 공간에 벡터장 $\vec{E} = \vec{F}/q_0$를 만든다 — 힘은 "전하 → 장 → 전하"로 전달된다
• 전기력선 : 접선 = 장의 방향, 밀도 = 장의 세기. 양전하에서 나와 음전하에서 끝난다
• 중첩 원리 : 여러 전하의 장은 각 장의 벡터 합
• 연속 분포 : 쪼개기($dq$) → 대칭으로 상쇄 → 적분 — 고리와 원판이 대표 예
• 장 속의 전하 : $\vec{F} = q\vec{E}$ (양전하는 장 방향, 음전하는 반대 방향)
• 장 속의 쌍극자 : 알짜힘 0, 토크가 $\vec{p}$를 $\vec{E}$에 정렬시킨다

핵심 공식

기억할 것: 점전하는 $1/r^2$, 쌍극자는 $1/r^3$ · 답은 항상 극한($z \gg R$, $z \to 0$)으로 검증 · 균일장 속 운동은 포물체 운동과 같다