21장: 쿨롱 법칙

Coulomb's Law

이번 학기에 배울 내용

1학기에는 역학과 열역학을 배웠다. 이제 2학기에는 전자기학(electromagnetism) 으로 들어간다.

• 전자기력은 원자와 분자를 묶어 물질을 만든다
• 모든 전기·전자 기기, 화학 결합, 그리고 빛(light) 의 근원이 전자기력이다
• 자연의 네 가지 기본 힘(four fundamental forces) — 중력, 전자기력, 약력, 강력 — 중 하나이다

우리가 일상에서 마주하는 거의 모든 힘(마찰력, 수직항력, 장력, 탄성력)은 사실 미시적으로는 전자기력이다.

전기는 일상 속에 있다

• 겨울철 문손잡이를 잡을 때 찌릿 하는 정전기
• 스웨터를 벗을 때 나는 따닥 소리와 작은 불꽃
• 마른 날 머리를 빗으면 머리카락이 곤두서는 현상
• 하늘에서 내리치는 번개(lightning)

이 모든 현상의 배후에는 전하(electric charge) 가 있다.

이번 장의 세 가지 핵심 결론

이번 장에서 우리는 다음 세 가지를 배운다.

1. 쿨롱 법칙(Coulomb's law) : 두 전하 사이에 작용하는 힘의 크기와 방향 $$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$$
2. 전하의 양자화(quantization of charge) : 전하는 기본 전하 $e$의 정수배로만 존재한다 $$q = ne$$
3. 전하 보존(conservation of charge) : 고립계의 알짜 전하는 변하지 않는다

21.1 쿨롱 법칙

전하에는 두 종류가 있다

전하(electric charge) 는 두 종류가 있다. 양전하(+) 와 음전하(−) 이다.

기본 규칙:

• 같은 부호 의 전하끼리는 서로 밀어낸다 (척력, repulsion)
• 반대 부호 의 전하끼리는 서로 끌어당긴다 (인력, attraction)

전기적 중성과 잉여 전하

대부분의 물체는 전기적 중성(electrically neutral) 이다. 양전하와 음전하의 총량이 정확히 같기 때문이다.

물체를 마찰하면 한쪽에 전하가 쌓여 대전(charged) 된다. 이때 쌓인 전하를 잉여 전하(excess charge) 라 한다.

• 유리 막대를 비단으로 문지르면 → 유리 막대는 양(+) 으로 대전
• 플라스틱 막대를 털가죽으로 문지르면 → 플라스틱 막대는 음(−) 으로 대전

중요한 점: 마찰은 전하를 만들어내는 것이 아니라, 한 물체에서 다른 물체로 옮길 뿐이다.

원자의 구조

물질을 이루는 원자는 다음으로 구성된다.

• 양성자(proton) : 전하 $+e$, 원자핵 안에 있음
• 중성자(neutron) : 전하 $0$, 원자핵 안에 있음
• 전자(electron) : 전하 $-e$, 원자핵 주위를 돈다

여기서 $e = 1.602 \times 10^{-19}$ C는 기본 전하(elementary charge) 이다. 양성자와 전자는 부호만 반대이고 전하의 크기는 정확히 같다.

마찰로 전자가 옮겨간다

원자핵 속 양성자는 단단히 묶여 있어 잘 움직이지 못한다. 반면 바깥쪽 전자(electron) 는 비교적 쉽게 떨어져 나간다.

• 물체가 전자를 잃으면 → 양전하가 남아 (+) 로 대전
• 물체가 전자를 얻으면 → 음전하가 많아져 (−) 로 대전

따라서 모든 대전 현상은 결국 전자의 이동 으로 설명된다. 머리카락이 곤두서는 것도, 풍선이 벽에 붙는 것도 전자가 옮겨간 결과이다.

도체와 절연체

물질은 전하가 얼마나 자유롭게 움직일 수 있는가에 따라 나뉜다.

• 도체(conductor) : 전하가 자유롭게 이동 (구리, 알루미늄, 인체, 수돗물)
• 절연체·부도체(insulator) : 전하가 거의 이동 못 함 (유리, 고무, 플라스틱, 마른 나무)
• 반도체(semiconductor) : 도체와 절연체의 중간 (규소, 저마늄) — 전자 소자의 핵심 재료
• 초전도체(superconductor) : 전기 저항이 완전히 0인 물질

전도 전자와 접지

금속에서는 각 원자의 바깥쪽 전자 일부가 특정 원자에 묶이지 않고 금속 전체를 자유롭게 돌아다닌다. 이를 전도 전자(conduction electrons) 라 한다. 도체가 전기를 잘 통하는 이유이다.

대전된 물체를 다른 물체와 떨어뜨려 두면 전하가 그대로 유지된다. 이를 전기적 고립(electrical isolation) 이라 한다.

도체를 땅(지구)에 도선으로 연결하면, 지구는 거의 무한한 전하 저장소이므로 잉여 전하가 흘러나가 중성이 된다. 이를 접지(grounding) 라 한다.

유도 전하

대전체를 중성 도체 가까이 가져가면, 도체 내부의 전도 전자가 재배치된다.

• 양(+)으로 대전된 막대를 가까이 하면 → 도체의 전자들이 막대 쪽으로 끌려와 가까운 면에 모인다
• 가까운 쪽에는 음전하가, 먼 쪽에는 양전하가 남는다

이렇게 생긴 전하를 유도 전하(induced charge) 라 한다.

도체 전체로는 여전히 중성이지만, 가까운 쪽 인력이 먼 쪽 척력보다 커서 결국 도체가 막대에 끌려간다. 종이 조각이 빗에 붙는 이유이다.

쿨롱 법칙

두 점전하 $q_1$, $q_2$ 사이의 거리가 $r$일 때, 둘 사이에 작용하는 전기력의 크기는:

$$\boxed{F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}}$$

여기서 비례 상수는:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.99 \times 10^9 \;\mathrm{N\cdot m^2/C^2}$$

$$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \;\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}$$

$\varepsilon_0$는 자유 공간의 유전율(permittivity of free space), SI 전하 단위는 쿨롬(coulomb, C) 이다.

힘의 방향과 작용-반작용

쿨롱 힘은 항상 두 전하를 잇는 직선 방향 으로 작용한다.

• 같은 부호: 서로 밀어내는 방향 (척력)
• 반대 부호: 서로 끌어당기는 방향 (인력)

$q_1$이 $q_2$에 작용하는 힘 $\vec{F}_{21}$과, $q_2$가 $q_1$에 작용하는 힘 $\vec{F}_{12}$는:

$$\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$$

크기가 같고 방향이 반대인 한 쌍이다. 이는 뉴턴 제3법칙(작용-반작용) 과 정확히 일치한다.

예제: 두 전하 사이의 힘

전하 $q_1 = +3\ \mu\mathrm{C}$, $q_2 = +5\ \mu\mathrm{C}$ 가 거리 $r = 0.20$ m 떨어져 있다. 둘 사이의 힘을 구하라.

먼저 단위를 변환한다. $1\ \mu\mathrm{C} = 10^{-6}$ C이므로 $q_1 = 3 \times 10^{-6}$ C, $q_2 = 5 \times 10^{-6}$ C.

쿨롱 법칙에 대입하면:

$$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = (8.99 \times 10^9)\frac{(3 \times 10^{-6})(5 \times 10^{-6})}{(0.20)^2}$$

분자를 계산하면 $(3 \times 10^{-6})(5 \times 10^{-6}) = 15 \times 10^{-12}$, 분모는 $(0.20)^2 = 0.04$:

$$F = (8.99 \times 10^9) \cdot \frac{15 \times 10^{-12}}{0.04} = (8.99 \times 10^9)(3.75 \times 10^{-10})$$

$$\boxed{F \approx 3.37\ \mathrm{N}}$$

두 전하가 모두 양(+)이므로 서로 밀어내는 척력 이다.

중첩 원리

전하가 여러 개일 때, 한 전하가 받는 알짜힘(net force) 은 나머지 각 전하가 미치는 힘을 벡터로 더한 것이다.

$$\boxed{\vec{F}_{1,\text{net}} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \vec{F}_{14} + \cdots}$$

주의: 이것은 벡터 합 이지 스칼라 합이 아니다! 각 힘의 크기를 그냥 더하면 안 되고, 방향까지 고려해야 한다.

각 쌍의 힘은 다른 전하의 존재와 무관하게 독립적으로 계산한다.

예제: 두 힘의 벡터 합

전하 $q_1$이 두 힘을 받는다고 하자. 크기는 각각 $F_{12} = 4.0$ N (오른쪽, $+x$ 방향), $F_{13} = 3.0$ N (위쪽, $+y$ 방향)이고 서로 수직이다.

성분으로 나누면:

$$F_x = 4.0\ \mathrm{N}, \qquad F_y = 3.0\ \mathrm{N}$$

알짜힘의 크기:

$$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(4.0)^2 + (3.0)^2} = \sqrt{25} = 5.0\ \mathrm{N}$$

방향($+x$축 기준 각도):

$$\theta = \tan^{-1}\frac{F_y}{F_x} = \tan^{-1}\frac{3.0}{4.0} \approx 37^\circ$$

알짜힘은 크기 $5.0$ N, $+x$축에서 약 $37^\circ$ 위쪽 방향이다.

전류

전하가 도선을 따라 흐르면 전류(electric current) 가 된다. 전류는 어떤 단면을 단위 시간당 지나가는 전하의 양으로 정의한다.

$$\boxed{i = \frac{dq}{dt}}$$

• 단위: 암페어(ampere, A) $= 1\ \mathrm{C/s}$
• 시간 $dt$ 동안 전하 $dq$가 한 점을 지나가는 비율

전류와 전하의 흐름은 다음 장들(전기장, 전위, 회로)에서 본격적으로 다룬다. 여기서는 전하가 움직이면 전류가 된다는 점만 기억하자.

쿨롱 힘과 중력의 비교

쿨롱 법칙과 뉴턴의 만유인력 법칙(law of gravitation) 은 형태가 똑같은 역제곱 법칙(inverse-square law) 이다.

$$F_e = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}, \qquad F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

차이점:

• 중력은 항상 인력 뿐이지만, 전기력은 인력과 척력 둘 다 있다
• 같은 거리에서 전기력이 중력보다 압도적으로 강하다

두 힘의 세기 비교

수소 원자에서 전자와 양성자 사이의 전기력과 중력의 비를 구해 보자. 두 힘 모두 $1/r^2$이므로 거리 $r$이 약분된다.

$$\frac{F_e}{F_g} = \frac{k|q_1||q_2|/r^2}{G m_1 m_2/r^2} = \frac{k\,e^2}{G\,m_e\,m_p}$$

값을 대입하면 ($e = 1.6 \times 10^{-19}$ C, $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ kg, $m_p = 1.67 \times 10^{-27}$ kg, $G = 6.67 \times 10^{-11}$):

$$\frac{F_e}{F_g} = \frac{(8.99 \times 10^9)(1.6 \times 10^{-19})^2}{(6.67 \times 10^{-11})(9.11 \times 10^{-31})(1.67 \times 10^{-27})}$$

$$\boxed{\frac{F_e}{F_g} \approx 2.3 \times 10^{39}}$$

전기력이 중력보다 약 $10^{39}$배 강하다! 원자와 분자를 묶는 것은 사실상 전적으로 전자기력이다.

껍질 정리

쿨롱 법칙은 점전하 사이의 힘이지만, 균일하게 대전된 구 껍질(spherical shell) 에도 두 가지 중요한 정리가 성립한다.

껍질 정리 1 : 균일하게 대전된 구 껍질이 껍질 바깥 의 전하에 미치는 힘은, 껍질의 모든 전하가 중심에 모여 있는 것처럼 작용한다.

껍질 정리 2 : 균일하게 대전된 구 껍질 내부 에 있는 전하가 받는 알짜힘은 0 이다.

이는 뉴턴이 중력에서 증명한 껍질 정리와 똑같다. 도체 구의 잉여 전하는 서로 밀어내어 바깥 표면에 균일하게 분포한다.

예제: 동일한 두 도체구의 전하 나눔

동일한 두 도체구가 있다. 구 A는 전하 $+Q$, 구 B는 중성($0$)이다. 두 구를 도선으로 잠깐 연결했다 떼면 각 구의 전하는?

• 도선으로 연결되면 전하가 자유롭게 이동할 수 있다
• 두 구는 모양과 크기가 똑같으므로 대칭이다
• 평형 상태에서 전하는 대칭에 의해 똑같이 나뉜다

전하 보존 에 의해 총 전하는 $+Q$로 일정하므로:

$$q_A = q_B = \frac{Q + 0}{2} = +\frac{Q}{2}$$

각 구는 $+Q/2$를 갖는다. 만약 B가 처음에 $-Q$였다면 총합이 0이므로 둘 다 중성이 된다.

21.2 전하의 양자화

전하는 덩어리로만 존재한다

자연의 모든 전하는 기본 전하(elementary charge) $e$의 정수배로만 나타난다.

$$\boxed{q = ne, \qquad n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots}$$

$$e = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

전하는 연속적인 양이 아니라 $e$ 단위로 양자화(quantized) 되어 있다.

• 가능: $+10e$, $-6e$, $+1e$ 같은 정수배
• 불가능: $3.57e$ 처럼 $e$의 정수배가 아닌 값

물체의 전하를 바꾸는 것은 전자를 한 개, 두 개씩 더하거나 빼는 것이다.

쿼크와 분수 전하

양성자나 중성자를 이루는 더 작은 입자인 쿼크(quark) 는 사실 $\pm\frac{1}{3}e$, $\pm\frac{2}{3}e$ 같은 분수 전하 를 갖는다.

그러나 쿼크는 항상 여러 개가 묶여 있어 단독으로 검출되지 않는다. 자유 입자로 관측되는 전하는 언제나 $e$의 정수배이다. 그래서 $e$를 기본 전하로 둔다.

(예: 양성자 = 두 개의 up 쿼크 $+\frac{2}{3}e$ 와 한 개의 down 쿼크 $-\frac{1}{3}e$ → 합 $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3} = +1e$.)

전하는 입자의 성질이다

전하는 따로 떼어낼 수 있는 물질 이 아니라, 질량처럼 입자가 지닌 하나의 성질 이다.

전하가 양자화되어 있다면, 왜 우리는 일상에서 그 알갱이성을 느끼지 못할까? 기본 전하가 너무 작기 때문이다.

• 100 W 전구에는 매초 약 $10^{19}$개의 기본 전하가 드나든다
• 너무 많은 수가 흐르므로 알갱이성은 전혀 드러나지 않고 연속 처럼 보인다

마치 모래사장을 멀리서 보면 매끈해 보이지만 가까이 보면 모래 알갱이인 것과 같다.

21.3 전하 보존

전하는 생성도 소멸도 되지 않는다

전하 보존 법칙(law of conservation of charge) : 고립계의 알짜 전하는 항상 일정하다.

유리 막대를 비단으로 문지르는 경우:

• 유리 막대는 $+q$로 대전
• 비단은 정확히 $-q$로 대전
• 알짜 전하의 변화는 $0$

전하가 새로 생긴 것이 아니라, 전자가 유리에서 비단으로 옮겨갔을 뿐이다.

핵반응에서의 전하 보존

전하 보존은 원자핵 반응에서도 엄격하게 성립한다. 알파 붕괴(alpha decay) 의 예:

$$^{238}_{92}\mathrm{U} \;\rightarrow\; ^{234}_{90}\mathrm{Th} \;+\; ^{4}_{2}\mathrm{He}$$

여기서 아래 첨자는 양성자 수(즉 전하)이다. 양변의 전하를 비교하면:

• 좌변: $92$
• 우변: $90 + 2 = 92$

좌변과 우변의 알짜 전하가 정확히 같다. 전하가 보존된다.

쌍소멸과 쌍생성

입자 물리학에서도 전하 보존은 깨지지 않는다.

쌍소멸(annihilation) : 전자($e^-$)와 양전자($e^+$)가 만나 빛(감마선 $\gamma$)으로 사라진다.

$$e^- + e^+ \;\rightarrow\; \gamma + \gamma$$

전하: 좌변 $(-e) + (+e) = 0$, 우변 $0 + 0 = 0$ → 보존.

쌍생성(pair production) : 감마선이 전자-양전자 쌍으로 바뀐다.

$$\gamma \;\rightarrow\; e^- + e^+$$

전하: 좌변 $0$, 우변 $(-e) + (+e) = 0$ → 보존. 입자는 항상 부호가 반대인 쌍 으로 생기거나 사라진다.

Review & Summary

핵심 개념

• 쿨롱 법칙 : 두 점전하 사이의 힘은 전하 크기의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다 $$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$$
• 벡터·중첩 : 여러 전하가 있으면 알짜힘은 각 힘의 벡터 합 이다
• 전하의 양자화 : 전하는 $e$의 정수배로만 존재한다 ($q = ne$)
• 전하 보존 : 고립계의 알짜 전하는 변하지 않는다 (전하는 이동할 뿐)

핵심 공식과 상수

기억할 것:

• 같은 부호는 척력, 반대 부호는 인력 — 힘은 두 전하를 잇는 직선 방향
• 전기력의 작용-반작용: $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$ (뉴턴 제3법칙)
• 전기력은 중력보다 약 $10^{39}$배 강하다
• 마찰·핵반응·쌍생성 어디서나 전하는 보존 된다